29. Обзор простейших функций принадлежности

Универсальные множества: .

Функция принадлежности утверждения «величина  мала»

Универсальные множества:

Функция принадлежности утверждения «величина  большая»

Универсальные множества:

Функция принадлежности утверждения «величина  мала»

Универсальные множества:

Функция принадлежности утверждения «величина  большая»

В приведенных таблицах мы описали различные функции принадлежности, полезные для представления числовых нечетких подмножеств, соответствующих следующим нечетким утверждениям:

величина  мала (29.1) - (29.7),

величина  большая (29.8) - (29.14),

величина  мала (29.15) - (29.21),

величина  большая (29.22) - (29.28).

Для этих утверждений можно построить числовые нечеткие подмножества относительно двух переменных. Покажем, как это делается. Кроме того, в этом же параграфе покажем, как анализировать и синтезировать транзитивные нечеткие отношения.

А. Цилиндрические функции принадлежности типа

                       (29.29)

соответствуют утверждению « обладают свойством ».

Возьмем теперь кривые и функции (29.1)-(29.14) и заменим  на .

Для (29.1)-(29.14) свойство можно сформулировать как «величина  мала или  и  малы».

Для (29.8)-(29.14) свойство можно сформулировать как «величина  большая или  и  большие».

Пример. Учитывая (29.6), можно видеть, что

.                 (29.30)

Б. Гиперболические функции принадлежности типа

              (29.31)

или

                      (29.32)

соответствуют утверждению « или  обладают свойством ».

Возьмем кривые и функции (29.1)-(29.14) и заменим

 на                      (29.33)

или

;

для (29.1)-(29.7) свойство  можно сформулировать как

«величина  очень близка к »,

для (29.8)-(29.14)

« очень отличается от ».

Для обращения свойства  в противоположное можно также использовать  при достаточно большом .

Замечание. Известно, что

.                 (29.34)

Таким образом, функции

 и                 (29.35)

в качестве функций принадлежности будут давать сходные результаты, когда

, ,  и др.

Определение свойства (max-min)-транзитивности в случае непрерывной функции принадлежности отношения. В этом случае очень легко оценить функцию принадлежности , если она представляет отношение, обладающее одним из следующих свойств: рефлексивностью, симметрией, антисимметрией.

Хуже обстоят дела с транзитивностью. Рассмотрим сначала (max-min)-транзитивность, а потом (max-)-транзитивность.

Напомним, что (max-min)-транзитивность характеризуется следующим свойством:

.                     (29.36)

На рис. 29.1 показано, как получить правый член соотношения (29.36). Если в этом примере  и  рассматриваются как параметры, то имеется единственная точка пересечения функций принадлежности  и ; в других случаях таких точек может быть несколько, но каждый раз только одна из них будет определять максимум . В дальнейшем удобно действовать следующим образом.

Рис. 29.1.

1. Определяем точку  как функцию от  и , такую, что

.                (29.37)

2. Подставляем значение  как функцию от  и  в  или в , что даст функцию .

3. Сравниваем  с . Если

,             (29.38)

то отношение  транзитивно. Если же

,             (29.39)

то отношение  не транзитивно.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Имеем нечеткое отношение , определенное для  и :

               (29.40)

На рис. 29.2 для случаев  (рис. 29.2,а) и  (рис. 29.2,б) мы изобразили функцию  как функцию от  ( принимается в качестве параметра) и  ( принимается в качестве параметра).

Рис. 29.2.

На этих рисунках  представляет функцию  (с  в качестве параметра), a  представляет функцию  ( - параметр).

В случае  max-min равен , а в случае  max-min равен . Поэтому можно записать

                   (29.41)

Сравниваем  с функцией принадлежности , задаваемой (29.40), где  заменяет :

                (29.42)

В результате сравнения видим, что

, ,               (29.43)

, .               (29.44)

Следовательно,  - транзитивное отношение. Заметим, что это отношение есть отношение подобия.

На рис. 29.3 представлено с помощью матрицы нечеткое отношение, соответствующее (29.40), где вместо  использовано . На нем выявляются особенности расположения значений функции принадлежности. Читатель должен сам включиться в проверку транзитивности в этом случае, используя (29.36). (Мах-min)-оператор умножения строки на столбец позволит проверить (29.43) и (29.44).

Рис. 29.3.

Пример 2. Рассмотрим нечеткое отношение , определенное для и  (рис. 29.4):

.             (29.45)

Рис. 29.4.

Легко находим, что

,                      (28.46)

поэтому

                    (29.47)

или

.                     (29.48)

Значение  отмечено на рис. 29.4. Подставив это значение  в правый член (29.45), получим

.                    (29.49)

Мы видим, что

,                        (29.50)

т. е.

.             (29.51)

Таким образом, отношение  нетранзитивно. Заметим, что тем не менее это отношение является отношением сходства.

На рис. 29.5 представлено соответствующее отношение , но с заменой  на .

Рис. 29.5.

Пример 3. Рассмотрим нечеткое отношение, определенное для  и :

               (29.52)

На рис. 29.6 показано, что min-max соответствует , отсюда

               (29.53)

Рис. 29.6.

Мы видим, что

.               (29.54)

Следовательно, отношение  действительно транзитивно. Можно также проверить, что это отношение есть полный нечеткий порядок.

На рис. 29.7 представлено соответствующее отношение с  вместо .

Рис. 29.7.

Замечание о синтезе транзитивного нечеткого отношения. Если анализ нечеткого отношения в  или , как мы видели, не очень легок, то, за исключением некоторых очень простых частных случаев, их синтез еще более затруднителен. Достаточно хороший метод синтеза состоит в том, чтобы выполнить синтез отношения в , а затем перейти к  или .

Теоремы декомпозиции для отношения подобия (§ 27) и для отношения совершенного порядка (§ 28) позволяют легко синтезировать соответствующие отношения. Можно предложить и соответствующий алгоритм.

Алгоритм для построения нечеткого транзитивного отношения в счетном множестве.

1. Пусть имеем последовательность (конечную или нет) чисел , строго упорядоченную по :

.             (29.55)

Шаг за шагом строим транзитивный обычный граф, добавляя дуги и следя, чтобы сохранялась транзитивность. На -м шаге алгоритма к построенному транзитивному графу, дугам которого уже присвоены значения , добавляются новые дуги, так что в результате получается новый транзитивный граф. Всем добавленным дугам на -м шаге присваиваются значения . Конечный нечеткий граф, полученный после остановки на шаге , транзитивен; если процедура не останавливается за конечное число шагов, то получается бесконечный граф, причем тоже транзитивный.

Пример. Рассмотрим бесконечную последовательность

.             (29.56)

Мы намереваемся построить транзитивный и антирефлексивный нечеткий граф, обладающий совершенной антисимметрией. Построение выполняется в соответствии с порядком, указанным на рис. 29.8, где дуги добавляются произвольно, но с оговоркой, что транзитивность должна сохраняться на каждом шаге. Как строится этот нечеткий граф, понятно из рис. 29.9. Ту же процедуру можно использовать и для предпорядков, отношений подобия, порядков и т. п.

Рис. 29.8.

Рис. 29.9.

Из полученной матрицы видно, как получить соответствующее отношение  для  и в конце концов для . Это, очевидно, не всегда легко сделать.