45. Закон нечеткой внутренней композиции. Нечеткий группоид

Рассмотренные понятия можно в обобщенном виде перенести на нечеткие подмножества следующим образом.

Пусть  - универсальное множество и . Обозначим, как это сделано в § 6, множество нечетких подмножеств множества  через . Тогда можно записать . Мы уже видели, что если  и  конечные, то и  конечно.

Теперь можно определить закон внутренней композиции на , т. е. определить отображение из  в . Другими словами, каждой упорядоченной паре , где , , поставить в соответствие единственное нечеткое подмножество . Если  и  конечные, то посредством этих условий описывают конечный группоид (и бесконечный группоид, если  или(и)  не конечные).

Определенные таким образом законы внутренней композиции и группоиды будут называться законами нечеткой внутренней композиции или нечеткими внутренними законами и нечеткими группоидами. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть

                 (45.1)

и

.                        (45.2)

Обратившись к рис. 6.2, получим

      (45.3)

Для упрощения записи для  вместо

                       (45.4)

будем писать

.                (45.5)

Таким образом,  будем записывать . При этом обозначении табл. на рис. 45.1 представляет нечеткий группоид.

Рис. 45.1.

Пример 2. Если рассматриваемая операция  есть пересечение  и если  и , то можно образовать группоид с нечеткими подмножествами  в качестве результата применения этой операции. То же справедливо для операций  и , определенных в § 5.

Построение нечеткого группоида. Для построения нечеткого группоида достаточно задать универсальное множество , конечное или нет, образовать  явно или нет и определить закон , который каждой упорядоченной паре нечетких подмножеств  ставит в соответствие одно и только одно нечеткое подмножество .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим еще раз (45.1) и (45.2) с законом

,                        (45.6)

т. е.

.             (45.7)

Таким образом, мы построили группоид, представленный на рис. 45.2.

Рис. 45.2.

Пример 2. Попробуем определить «нечеткие положительные целые числа». Начнем с определения нечеткого числа  с функцией принадлежности , произвольной, но такой, что

, .                       (45.8)

Например,

.                     (45.9)

Построим  следующим образом:

              (45.10)

Таким образом,

.                 (45.11)

Закончим построения на числе , используя формулу, которая обобщает (45.10):

.                     (45.12)

В этом выражении можно узнать преобразование свертки, используемое в теории вероятностей и в преобразованиях линейных функций.

Для  имеем

, .             (45.13)

Таким образом,

                    (45.14)

Таким путем процесс построения продолжается далее. Отметим, что нечеткий характер построенных чисел проявляется все сильнее с ростом их значений.

Позже мы познакомимся с некоторыми частными свойствами группоидов. Здесь же отметим, что построенные нами группоиды обладают следующими свойствами:

 - ассоциативность,                      (45.15)

 - коммутативность.                (45.16)

При этом  нужно выбирать такими, чтобы

.             (45.17)

Это условие соответствует использованию произведения - свертки (45.12).

Пример 3. Возьмем функцию принадлежности, которую можно рассматривать как закон распределения вероятностей. Рассмотрим два нечетких подмножества  и , c помощью которых получим другие нечеткие подмножества (таким образом, мы рассматриваем  и  как нечеткие множества, порождающие бесконечное число других нечетких подмножеств). Пусть

, ,                   (45.18)

, .                   (45.19)

Теперь рассмотрим следующий закон композиции:

.      (45.20)

Он определяет нечеткое число .

Аналогично порождаются другие нечеткие числа:

                   (45.21)

где верхние индексы указывают на то, что проведено  композиций нечеткого числа  и  композиций нечеткого числа .

Из двух нечетких чисел  и  можно образовать композиции

                        (45.22)

и множество

            (45.23)

наделенное структурой группоида, который к тому же обладает свойствами ассоциативности и коммутативности, присущими закону (45.20).