19. Нечеткие отношения предпорядка

Нечетким отношением предпорядка называется бинарное нечеткое отношение, обладающее свойствами транзитивности (см. (16.9)) и рефлексивности (см. (16.7)).

Сначала рассмотрим важную теорему.

Теорема 1. Если  - транзитивно и рефлексивно (т. е. предпорядок), то

, .                      (19.1)

Доказательство. Достаточно обратиться к определению транзитивности [(16.9) и (17.4)] и показать, что если

,                  (19.2)

то

.                    (19.3)

Поскольку

,

то согласно (13.2) имеем

.                    (19.4)

Правая часть (19.4) содержит два равных члена

,               (19.5)

поскольку в силу рефлексивности

.                  (19.6)

Напомним [(16.9)], что  - транзитивное отношение, т. е.

,                     (19.7)

и поэтому  не меньше, чем .

Следовательно,  - значение правой части (19.4), и мы действительно имеем

.                    (19.8)

Теорема 2. Если  - предпорядок, то

.                    (19.9)

Доказательство. Это следствие из теоремы 1. Достаточно рассмотреть (17.8) и (19.8) вместе.

Пример 1. На рис. 19.1 изображен предпорядок

.               (19.10)

Рис. 19.1.

Его транзитивность можно проверить с помощью соотношения

.                   (19.11)

Рефлексивность непосредственно следует из существования единиц на главной диагонали.

Наконец, можно проверить, что действительно

.                    (19.12)

Пример 2. Рассмотрим граф , где  - конечно, и предположим, что граф  рефлексивен. Тогда нечеткое бинарное отношение «в  существует путь из  в », (где слово «путь» понимается в смысле § 18) есть предпорядок.

Пример 3. Нечеткое бинарное отношение , где , с функцией принадлежности

, ,                        (19.13)

не предпорядок, так как оно нетранзитивно [см. (16.12)].

Пример 4 (рис. 19.2).

.             (19.14)

Это отношение на счетном бесконечном множестве  есть предпорядок.

Рис. 19.2.

Нечеткий полупредпорядок. Транзитивное нечеткое отношение, не обладающее свойствами рефлексивности, называется полупредпорядком, или, что то же самое, нерефлексивным, нечетким предпорядком.

Пример 1. Отношение, представленное на рис. 19.3, транзитивно, но не рефлексивно; это отношение - полупредпорядок.

Рис. 19.3.

Пример 2. Отношение на рис. 16.7 есть полупредпорядок.

Антирефлексивный нечеткий предпорядок. Частным случаем нечеткого полупредпорядка является отношение, у которого

.                       (19.15)

В этом случае говорят, что нечеткий предпорядок антирефлексивен. Таким образом, отношение предпорядка на рис. 19.4 антирефлексивно.

Рис. 19.4.