39. Нечеткие утверждения и их функциональное представление

В отличие от формальной логики нечеткая логика опирается не на таблицы истинности, а на операции, производимые на нечетких подмножествах.

Мы начнем со сравнительного примера, основанного на сказке «Красная шапочка». Рассмотрим два формальных утверждения, истинность или ложность которых нужно установить апостериори (после прочтения этой истории):

: волк одет в одежду бабушки,

: волк съел девочку.

Утверждение будет означать: «Волк одет как бабушка и съел девочку». Чтобы оно было истинным, необходимо, чтобы оба высказывания  и  были истинными. Если только одно из них истинно или оба ложны, то это утверждение не согласуется со сказкой о Красной шапочке. Таким образом, мы приходим к следующей таблице истинности (рис. 39.1).

Рис. 39.1.

А теперь представим эти два логических высказывания другим образом. Пусть имеется множество животных

.               (39.1)

Рассмотрим , формальное подмножество животных, которые могли бы надеть одежду бабушки:

,            (39.2)

откуда

.               (39.3)

Рассмотрим , формальное подмножество животных, которые могли бы съесть девочку:

,            (39.4)

откуда

.               (39.5)

Формальное подмножество животных, которые могли бы переодеться в бабушку и съесть девочку, есть

.                    (39.6)

В результате проведенной процедуры мы удостоверились, что волк есть действительно такое коварное и жестокое животное, каким он и описан в знаменитой сказке.

Рассмотрим теперь два высказывания из нечеткой сказки о Красной шапочке. Пусть есть множество животных

.               (39.7)

Рассмотрим , нечеткое подмножество животных, которые могли бы одеться как бабушка:

.  (39.8)

Рассмотрим , нечеткое подмножество животных, которые могли бы съесть девочку:

. (39.9)

Тогда нечеткое подмножество животных, которые могли бы надеть бабушкину одежду и съесть девочку, это

                   (39.10)

Сказка может быть про волка, лису, собаку и даже про кошку.

Высказывания нечеткой логики, как и высказывания формальной логики, явно или неявно связаны с теорией нечетких и соответственно формальных множеств.

Операциям ,  и  (пересечение, объединение и дополнение) в формальной логике соответствуют связки ,  и  (конъюнкция «и», дизъюнкция «или/и», отрицание «не»).

Переход к нечетким связкам ,  и  соответствующей нечеткой логики не представляет каких-либо трудностей, поскольку мы уже определили соответствующее множество операций в § 5.

Однако необходимо уделить особое внимание другим связкам: импликации, метаимпликации, логической эквивалентности.

Теперь перейдем к обзору этих понятий, сначала в формальной, а затем в нечеткой логике.

Рассмотрим два формальных утверждения  и . Составному утверждению « влечет », обозначается , соответствует таблица истинности на рис. 39.2.

Рис. 39.2.

Если утверждению  поставить в соответствие множество , а утверждению  - множество , то составному утверждению « влечет » ставится в соответствие множество .

Теперь рассмотрим составное утверждение « метаимплицирует », обозначается . Этой метаимпликации придается следующий смысл: когда  истинно,  всегда истинно (правило силлогизма, к счастью, сохраняется здесь), но ничего нельзя утверждать, когда  ложно; в этом случае  может быть как истинно, так и ложно. Таким образом, высказывание вроде «если море станет сладким сиропом, я превращусь в сирену» - корректно, поскольку море, увы, непригодно для питья и, конечно, не станет сладким сиропом. Поэтому связка  сводится к следующему: если  и утверждение  истинно, то  есть необходимо истинное утверждение.

Поэтому мы должны остерегаться смешения  и . Первое есть операция логики

              (39.11)

Второе - металогическая операция, которая может не сводиться к (39.11). Однако возникла привычка метаимпликацию называть импликацией и, таким образом, путать обе. Составное утверждение  не является отношением причины и следствия и не доказывает справедливость  по отношению к , но именно так трактуется метаимпликация .

Можно привести ложный парадокс, связанный с введенным нами понятием импликации, который мы сформулируем следующим образом: поскольку проанализировать утверждения  и  можно лишь тогда, когда известно их содержание, о котором у нас не имеется никаких сведений, и единственно доступные нам данные - это логические значения этих высказываний, то импликация  не может быть отношением причины и следствия.

Однако, если априори известно, что  истинно и что  истинно, тогда можно заключить, что  истинно.

Приведем пример, взятый из [3К]. Пусть  и  есть следующие утверждения, которые мы будем рассматривать, используя таблицу на рис. 39.2.

: Наполеон умер на острове Святая Елена (истинно),

: Версингеторикс носил усы (никто не уверен),

 истинно, если  истинно;

: два плюс два равно пяти (ложно),

: 12 - простое число (ложно),

 истинно;

 Луна сделана из швейцарского сыра (ложно),

: 17 - простое число (истинно),

 истинно;

: 17 - простое число (истинно),

: 16 - простое число (ложно),

 ложно.

Логическая эквивалентность менее двусмысленна. Мы определим ее, используя таблицу истинности, приведенную на рис. 39.3.

Рис. 39.3.

Подобно импликации, логическая эквивалентность не учитывает содержания двух утверждений в причинном отношении.

Составному высказыванию для подмножества , связанного с , и подмножества , связанного с , соответствует множественная операция .

Вместо метаэквивалентности обычно говорят просто об эквивалентности - это значит, что  метаимплицирует  и  метаимплицирует . Такая симметрия определения приводит к таблице истинности, идентичной таблице истинности для логической связки «эквивалентно» . Поэтому можно отождествить эти понятия, не опасаясь возникновения двусмысленности.

Нечеткие утверждения типа нечеткой импликации и нечеткой эквивалентности определяют относительно операций  и  соответственно. Мы настоятельно подчеркиваем тот факт, что пересечение, объединение и отрицание - операции, определенные на подмножествах универсального множества и соответствующего множества принадлежностей.

Для определения метаимпликации в нечеткой логике мы используем понятие бинарного отношения. На рис. 39.4 и 39.5 приводится пример такого соответствия, где , . Очевидно, что здесь

                     (39.12)

Рис. 39.4.

Рис. 39.5.

На рис. 39.6 элементу множества  соответствует нечеткое подмножество :

              (39.12а)

В § 15 мы определили возможность установления соответствия между нечеткими подмножествами, где  и ; это было сделано с помощью понятия условного нечеткого подмножества. Тогда отношение, задающее нечеткое подмножество , соответствующее нечеткому подмножеству , определяется как

.              (39.13)

В § 15 мы приводили пример [см. (15.3) - (15.11)]; теперь рассмотрим другой пример, используя нечеткое отношение на рис. 39.6.

Рис. 39.6.

Предположим, что

.                (39.14)

Последовательно находим

              (39.15)

              (39.16)

и аналогично

, , , .              (39.17)

Вычисления показаны на рис. 39.7, где оператор  соответствует (max-min).

Рис. 39.7.

Следовательно, если

,                (39.18)

то

.                 (39.19)

Итак, мы показали, что рассматриваемое утверждение «если-то» хорошо соответствует тому, что используется при формальных отношениях. Пусть

,                  (39.20)

т. е.

.                   (39.21)

Обращаясь еще раз к соответствию на рис. 39.5 и используя (39.13), находим

,                  (39.22)

т. е.

,                   (39.23)

что можно записать в виде

если , то ,                        (39.24)

или

если , то .                                (39.25)

Мы действительно вновь получили утверждение «если-то» типа того, которое определено в (39.12).

Сделаем сводку всех утверждений, установленных до сих пор: нечеткая конъюнкция (нечеткое и) определяется как , нечеткая дизъюнкция (нечеткое или) определяется как , нечеткое отрицание (нечеткое не) определяется как , нечеткая импликация определяется как , нечеткая эквивалентность определяется как , нечеткое если-то определяется как  (нечеткая метаимпликация).

Это последнее утверждение относится не к нечеткой логике, а скорее, к нечеткой металогике.