3. Понятие нечеткого подмножества

Начнем с примера. Рассмотрим подмножество  множества , определенное в (2.7). Каждый из пяти элементов  или принадлежит или не принадлежит . Характеристическая функция принимает только значения 0 или 1.

Представим теперь, что характеристическая функция может принимать любое значение в интервале . В соответствии с этим элемент  множества  может не принадлежать , может быть элементом  в небольшой степени ( близко к 0), может более или менее принадлежать  ( ни слишком близко к 0, ни слишком близко к 1), может в значительной степени быть элементом  ( близко к 1) или, наконец, может быть элементом  (). Таким образом, понятие принадлежности получает интересное обобщение, приводящее как это мы увидим, к очень полезным результатам.

Математический объект, определяемый выражением

,                      (3.1)

где  - элемент универсального множества , а число после вертикальной черты дает значение характеристической функции на этом элементе, будем называть нечетким подмножеством множества  и обозначать

 или .                (3.2)

Принадлежность нечеткому подмножеству можно обозначать так:

.            (3.3)

Символ  можно считать эквивалентным , а  - символу . Чтобы избежать громоздкого обозначения, используют просто символ  для указания принадлежности и символ  для указания непринадлежности.

Следовательно, нечеткое подмножество, определенное в (3.1), содержит в небольшой степени , не содержит , содержит  в немного большей степени, чем , полностью содержит  и в значительной мере - . Таким образом, мы можем создать математическую структуру, которая позволяет оперировать с относительно неполно определенными элементами и принадлежность которой к данному подмножеству лишь в какой-то мере иерархически упорядочена. К таким структурам можно, например, отнести: в заданном множестве людей - некоторое подмножество очень высоких людей; во множестве основных цветов - нечеткое подмножество темно-зеленых цветов, во множестве решений - нечеткое подмножество хороших решений и т. д. Далее мы увидим, как обращаться с такими понятиями, которые, по-видимому, особенно хорошо подходят к описанию неточности, присущей социальным наукам.

Дадим строгое определение понятия, нечеткого подмножества, введенного Заде [31].

Пусть  есть множество, счетное или нет, и  - элемент . Тогда нечетким подмножеством  множества  называется множество упорядоченных пар

, ,                   (3.4)

где  - степень принадлежности  в . Таким образом, если  принимает свои значения во множестве  значений функции принадлежности или, короче, во множестве принадлежностей, то можно сказать, что  принимает значение в  посредством функции . Таким образом,

.                    (3.5)

Эта функция также называется функцией принадлежности.

Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать булевы бинарные функции как частный случай таких функций принадлежности, в данной работе мы заменим приведенное выше определение на следующее.

Пусть  - множество, счетное или нет, и  - элемент . Тогда нечеткое подмножество  множества  определяется как множество упорядоченных пар

, ,                    (3.6)

где  - характеристическая функция принадлежности, принимающая свои значения во вполне упорядоченном множестве , которая указывает степень или уровень принадлежности элемента  подмножеству . Множество  будет называться множеством принадлежностей.

Если , то «нечеткое подмножество»  будет рассматриваться как «ненечеткое» или просто «обычное» подмножество.

Таким образом, понятие нечеткого подмножества связано с понятием множества и позволяет изучать нестрого определенные понятия, используя математические структуры.

Рассмотрим несколько примеров:

1) нечеткое подмножество чисел , приблизительно равных данному действительному числу , где  ( - множество действительных чисел);

2) нечеткое подмножество целых чисел, очень близких к 0;

3) пусть  - действительное число и  - небольшое положительное приращение ; тогда числа  образуют нечеткое подмножество во множестве действительных чисел;

4) пусть  - элемент решетки; элементы, ближайшие к , по отношению порядка образуют нечеткое подмножество в множестве всех элементов решетки.

Множества или подмножества обозначаются в данной работе полужирными буквами: . Нечеткое подмножество обозначим полужирной буквой с символом  под ней. Таким образом, нечеткие подмножества будем записывать в виде

                   (3.7)

Принадлежность и непринадлежность будем обозначать символами

 и ,                        (3.8)

нечеткую принадлежность и нечеткую непринадлежность, если в этом возникнет необходимость, будем обозначать

 и .                        (3.9)

В некоторых случаях, когда вполне упорядоченное множество , в котором  принимает свои значения, есть сегмент - «двусторонне замкнутый интервал» , под символом  удобно помещать число из . Например,

  означает, что , т. е. « есть элемент »,                (3.10)

  означает, что , т. е. « не принадлежит »,

  означает, что  есть элемент  со степенью 0,8 и т. д.

Рассмотрим несколько полезных примеров.

Пример 1. Рассмотрим конечное множество

                (3.11)

и конечное упорядоченное множество

.                      (3.12)

Тогда

                       (3.13)

есть нечеткое подмножество  и можно записать

 и т. д.

Пример 2. Пусть  - множество натуральных чисел:

.                     (3.14)

Рассмотрим нечеткое подмножество «небольших» натуральных чисел:

.              (3.15)

Здесь функциональные значения , где , задаются, конечно, субъективно. Формулу (3.15) можно записать в виде

                   (3.16)

Пример 3. Пусть  состоит из первых десяти целых чисел:

.                (3.17)

Рассмотрим нечеткое подмножество , составленное из чисел множества :

,          (3.18)

где значения  опять заданы субъективно.

Можно записать

                     (3.19)

Читатель может заметить, что символ обобщенной принадлежности можно употреблять в обратной записи. Так, (3.13) можно записать в виде

,                       (3.20)

а (3.19) в виде

.                       (3.21)