15. Условные нечеткие подмножества

Нечеткое подмножество  будет называться условным на , если его функция принадлежности зависит от  как от параметра.

Для записи условной функции принадлежности используют обозначение

, где  и .                 (15.1)

Эта функция определяет отображение  в множество нечетких подмножеств, определенных на .

Таким образом, нечеткое подмножество  будет индуцировать нечеткое подмножество  с функцией принадлежности

.                      (15.2)

Пример. Рассмотрим нечеткое отношение между

,                (15.3)

,                  (15.4)

определенное следующей таблицей:

.             (15.5)

Отношение  выражает условную функцию принадлежности

.                 (15.6)

Например,

.                (15.7)

Допустим, что в  имеется нечеткое подмножество , определенное как

.                  (15.8)

Этому нечеткому подмножеству  соответствует нечеткое подмножество в , скажем , которое будет определяться формулой (15.2). Проведем вычисления.

Сначала подсчитаем . Имеем

                      (15.9)

                (15.10)

Аналогичные подсчеты нужно провести для  и . Тогда получим

, , .

Таким образом,

.                (15.11)

Другое представление условного нечеткого подмножества. Как мы увидим ниже, для нечетких подмножеств выражение (15.2) играет ту же самую роль, что и понятие функции для элементов формальных множеств. Понятие функции для этих элементов можно выразить такой фразой: «если , то в соответствии с функцией  », которую можно записать в виде

             (15.12)

или в виде

.                  (15.13)

Понятие условного нечеткого подмножества играет в точности ту же роль, но вместо того, чтобы рассматривать элементы ,  и отношение , являющееся функцией, введем следующее определение.

Пусть  и ; рассмотрим нечеткое отношение  между  и . Теперь определим: если , то в соответствии с отношением  имеем ; это можно записать в виде

.                    (15.14)

Если  - функция принадлежности нечеткого отношения ,  - отношения  и  - отношения , то

.                      (15.15)

Это выражение устанавливает другое представление условных нечетких подмножеств. В § 39 мы убедимся в важности этого понятия.

Рассмотрим пример использования этого представления.

Пример 1

,                    (15.16)

,                (15.17)

,                   (15.18)

Перепишем (15.17) в виде

.             (15.20)

Теперь проведем операцию взятия MIN для всех элементов строки (15.20) и столбца  (15.19); это даст

                     (15.21)

После выполнения операции МАХ на элементах полученного столбца имеем

.                        (15.22)

Таким образом,

.                       (15.23)

Проделав то же самое между элементами (15.20) и остальными столбцами (15.19), получим

, , , .                      (15.24)

И окончательно

,                  (15.25)

или, что то же,

.                   (15.26)

Пример 2. Очевидно, что формула (15.15) или (15.2) также применима в случае, когда подмножества - обычные, а отношение  - булево (т. е. формальное). В этом случае формулы принимают вид

,                     (15.27)

где  - булева сумма.

Пусть

,                    (15.28)

,                       (15.29)

,                   (15.30)

Тогда, производя булевы операции, указанные в (15.27), для подмножества

,                      (15.32)

и отношения (15.31), находим

.                      (15.33)

Пример 3. Рассмотрим теперь случай, когда универсальное множество непрерывно.

Пусть

,                    (15.34)

, ,                (15.35)

,                      (15.36)

при .

Теперь определим минимум по  для  (рис. 15.1,а) и  (рис. 15.1,б). Эти две кривые пересекаются в двух точках:

условие ,                        (15.37)

дает точку ,

условие ,                  (15.38)

дает точку .

Рис. 15.1.

На рис. 15.1,в выделена кривая

,                       (15.39)

максимум которой достигается при

.             (15.40)

Таким образом,

.                (15.41)

Общее замечание. Очевидно, можно задать следующий важный вопрос. Если при  в соответствии с отношением  имеем , то можно ли отсюда заключить, что из  в соответствии с обратным нечетким отношением  получим , где  - нечеткое отношение, обратное к ? За исключением частных случаев, обратный переход от  посредством  к  невозможен: и в этом смысле отношение  не будет отношением, обратным к отношению .

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример (15.16)-(15.20) и формулу (15.27): нечеткое подмножество

              (15.42)

и отношение

дают нечеткое подмножество

.                   (15.44)

Тогда как  и

дали бы

.                        (l5.46)

Нечеткие подмножества, последовательно обусловливающие друг друга. Если  индуцирует  посредством ,  индуцирует  посредством , ... и  индуцирует  посредством , то  индуцирует  посредством .

Пример.

,             (15.47)

,                    (15.48)

                   (15.49)

,                    (15.50)

,                    (15.51)

.               (15.52)

Ближайшие обычные подмножества, обусловливающие друг друга. Легко показать (достаточно сослаться на (13.38)), что

.             (15.54)

Пример.

Это свойство остается справедливым, какой бы ни была природа универсальных множеств  и , где  и , и не зависит от того, конечны или нет множества  и .