12. Нечеткое отношение

Подобно тому, как это делается в теории обычных множеств, понятие нечеткого графа можно объяснить в терминах понятия нечеткое отношение. Пусть  - прямое произведение  множеств и  - его множество принадлежностей; нечеткое -арное отношение определяется как нечеткое подмножество , принимающее свои значения в .

Пример 1. Пусть

,                    (12.1)

,                   (12.2)

.                  (12.3)

Таблица на рис. 12.1 изображает нечеткое 2-арное отношение (которое можно называть бинарным, если не возникает путаница с другими возможными интерпретациями слова «бинарный»).

Рис. 12.1.

Пример 2. Пусть

,             (12.4)

где , т. е.  - множество всех действительных чисел. Тогда отношение , где ,  есть нечеткое отношение в .

Например, субъективное выражение (зависящее от субъективного оценивания) отношения  можно задать так:

                 (12.5)

Обозначение. Нечеткое отношение в  запишется как

.            (12.6)

Символы для обозначения экстремума. Далее будем использовать символы:

  - для обозначения максимума относительно элемента или переменной ,

  - для обозначения минимума относительно элемента или переменной .

Так, запись

                 (12.7)

эквивалентна

.                     (12.8)

Аналогично запись

                 (12.9)

эквивалентна

.                      (12.10)

Проекция нечеткого отношения. Первую проекцию  определяет функция принадлежности

.                      (12.11)

Аналогично вторую проекцию  определяет функция принадлежности

.                      (12.12)

Вторая проекция первой проекции (или наоборот) будет называться глобальной проекцией нечеткого отношения и обозначаться .

Таким образом,

.                    (12.13)

Если , то говорят, что отношение нормально. Если , то отношение субнормально.

Пример 1 (рис. 12.2). Вычислим первую проекцию

                    (12.14)

Аналогично можно вычислить и вторую проекцию. Результаты расчетов приведены на рис. 12.2. Мы видим, что отношение нормально.

Рис. 12.2.

Пример 2. Рассмотрим отношение , где ,  и

,              (12.15)

(рис. 12.3), которое можно интерпретировать такой нечеткой фразой:  и  - очень близкие друг к другу числа (для достаточно больших значений ).

Рис. 12.3.

В этом случае мы видим, что для фиксированного значения

 для .                  (12.16)

Поскольку значение  также равно единице, то .

Носитель нечеткого отношения. Носителем нечеткого отношения  называется обычное множество упорядоченных пар , для которых функция принадлежности положительна:

.                  (12.17)

Пример 1 (рис. 12.4).

.                        (12.18)

Рис. 12.4.

Пример 2 (рис. 12.5). Рассмотрим отношение , где ,  и

              (12.19)

Рис. 12.5.

Тогда имеем

.              (12.20)

Нечеткое отношение, содержащее или содержащееся в данном нечетком отношении. Пусть  и  - два нечетких отношения, такие, что

;                (12.21)

тогда говорят, что  содержит  или  содержится в .

Заметим, что

,                      (12.22)

если  содержит .

Пример 1 (рис. 12.6). Легко проверить, что  содержит .

Рис. 12.6.

Пример 2. Рассмотрим нечеткое отношение , где  и , такое, что , т. е. « много больше », и пусть функция принадлежности этого отношения определяется выражением

                    (12.23)

Пусть теперь ; тогда отношение  с функцией принадлежности

                    (12.24)

содержит  (рис. 12.7).

Рис. 12.7.

Объединение двух отношений. Объединение двух отношений  и  обозначается  или  и определяется выражением

.                     (12.25)

Если  - отношения, то

.            (12.26)

Результат объединения обозначим

 или .                       (12.27)

Пример 1 (рис. 12.8).

Рис. 12.8.

Пример 2. На рис. 12.9,а изображено нечеткое отношение ,  и , содержательно означающее, что «числа  и  очень близкие». На рис. 12.9,б изображено нечеткое отношение ,  и , содержательно означающее, что «числа  и  очень различные».

Рис. 12.9.

Отношение , содержательно означающее « и  очень близкие или/и очень различные», определяется кривой :

               (12.28)

где  - такое значение , при котором

.                     (12.29)

В логике, основанной на теории обычных множеств, высказывание вроде « и  очень близкие или(и) очень различные» должно быть сокращено до « и  очень близкие или очень различные» с разделительным «или». Однако в теории нечетких подмножеств первое предложение вполне логично; оно выражает тот факт, что связка «и» интерпретируема при очень малых значениях функций принадлежности, когда об  и  нельзя сказать ни что они очень близки, ни что они очень отличаются друг от друга.

Этот пример хорошо иллюстрирует гибкость высказываний, присущую настоящей теории.

Пересечение двух отношений. Пересечение двух отношений  и  обозначается  и определяется выражением

.                       (12.30)

Если  - отношения, то

.            (12.31)

Результат обозначим

.                  (12.32)

Пример 1 (рис. 12.10). Рассмотрим снова данные, представленные на рис. 12.8.

Рис. 12.10.

Пример 2. На рис. 12.11,а изображено нечеткое отношение , ,  означающее, что «модуль разностей  очень близок к ». На рис. 12.11,б представлено аналогичное отношение « очень близко к » .

Рис. 12.11.

На рис. 12.11,в показано, как получить

.                       (12.33)

Имеем

                 (12.34)

где  - такое значение , что .

Пересечение отношений  и  представлено на рис. 12.11,г.

Алгебраическое произведение двух отношений. Алгебраическое произведение  двух отношений  и  определяется выражением

.               (12.35)

Знак  в правой части этого выражения обозначает числовое произведение (обычное умножение).

Пример 1 (рис. 12.12). Рассмотрим еще раз данные на рис. 12.8.

Рис. 12.12.

Пример 2. Вернемся к примеру, рассмотренному на рис. 12.11,а,б. Пусть

,             (12.36)

тогда имеем

                       (12.37)

См. рис. 12.13,а-в.

Рис. 12.13.

Дистрибутивностью Выпишем свойства дистрибутивности для операций  и

,              (12.38)

,              (12.39)

,                    (12.40)

.                    (12.41)

Алгебраическая сумма двух отношений. Алгебраическая сумма двух отношений  и  обозначается  и определяется выражением

.                        (12.42)

Знак  обозначает обычное умножение, знак  - обычное сложение.

Пример (рис. 12.14). Вернемся опять к примеру на рис. 12.8. Отметим два свойства дистрибутивности для операции :

,              (12.43)

.              (12.44)

Рис. 12.14.

Дополнение отношения. Дополнение отношения  (обозначается ), есть такое отношение, что

.                       (12.45)

Пример 1 (рис. 12.15).

Рис. 12.15.

Пример 2. На рис. 12.16,а представлена функция принадлежности  отношения , означающего « и  очень близки друг к другу»,  и .

Рис. 12.16.

На рис. 12.16,б представлена функция принадлежности

,                (12.46)

которая может быть связана с отношением « и  очень близкие».

Тогда функция принадлежности  на рис. 12.16, в может представлять отношение « и  очень отличаются друг от друга».

Заметим, что два высказывания « и  не очень близки» и « и  очень разные» в общем случае не идентичны, за исключением случая, когда выбираются такие функции принадлежности, которые представляют оба высказывания довольно грубо.

Дизъюнктивная сумма двух отношений. Дизъюнктивная сумма обозначается  и определяется выражением

.                       (12.47)

Пример 1 (рис. 12.17).

Рис. 12.17.

Пример 2. Рассмотрим пример, приведенный на рис. 12.11,а и б; пусть  и  - отношения с функциями принадлежности, изображенными на рис. 12.11,а и б соответственно. На рис. 12.18,а-к читатель может видеть, как получить функцию принадлежности отношения .

Рис. 12.18.

Сравнивая рис. 12.11,г и 12.18,и, мы видим, что дизъюнктивное ИЛИ (рис. 12.18,и) дает результат, значительно отличающийся от результата И, так же как и от результата ИЛИ/И (рис. 12.18,к).

Аналогично определяется оператор дополнения дизъюнктивной суммы

.                    (12.48)

Рассмотрим предыдущий пример на рис. 12.19 и 12.20.

Рис. 12.20 получен с учетом рис. 12.18,к.

Рис. 12.19.

Рис. 12.20.

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. В § 5 показано, как получить обычное множество, ближайшее к данному нечеткому подмножеству [см. (5.102)]. Аналогично пусть  - нечеткое отношение; обычное отношение, ближайшее к , определяется выражением

              (12.49)

Это определение пригодно для любых универсальных множеств  и , образующих , где , , и независимо от того, конечны или нет универсальные множества.

По договоренности принимают

.                 (12.50)

Пример. На рис. 12.21 и 12.22 видно, как перейти от  к .

Рис. 12.21.

Рис. 12.22.

Наличие элемента, равного 1/2 и соответствующего , показывает, что  не единственно. Существуют два отношения, ближайшие к , для одного из которых , а для другого . По принятой договоренности будем полагать .