Главная > Введение в теорию нечетких множеств
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

46. Основные свойства нечетких группоидов

Пусть  есть закон внутренней композиции нечеткого группоида; определим несколько свойств группоидов. Группоид будет обозначаться .

Коммутативность. Если для всех упорядоченных пар  выполняется условие

,             (46.1)

то говорят, что закон внутренней композиции коммутативен; также говорят, что группоид коммутативен. Например, группоид на рис. 45.2 коммутативный, в то время как на рис. 45.1 - нет. Для примера на рис. 45.2 можно проверить, что

,                 (46.2)

.                 (46.3)

Исходя из данного определения закона  для нечетких подмножеств, можно заключить, что если

,                        (46.4)

то из коммутативности для  следует коммутативность для  и наоборот. Очевидным примером служат выражения (45.6) и (45.7).

Ассоциативность. Если

,                 (46.5)

то говорят, что закон ассоциативный; говорят также, что группоид ассоциативен.

Так, группоид на рис. 45.2 ассоциативен, а на рис. 45.1 - нет. Можем это проверить, например, для группоида на рис. 45.2, используя сокращенное обозначение

,              (46.7)

.           (46.7)

Исходя из данного определения закона для нечетных подмножеств, можно заключить, что если

,                      (46.8)

то из ассоциативности для  следует ассоциативность для  и наоборот.

Единичный элемент. В теории обычных множеств для рассматриваемого закона  выделяют особый элемент , если он существует, такой, что

.                  (46.9)

Этот элемент называют левой единицей. Аналогично элемент , если он существует, такой, что

,                 (46.10)

называется правой единицей.

Элемент, который является одновременно и левой и правой единицей, называется единицей.

Если единичный элемент существует, то он единственный. Действительно, если бы существовал другой такой элемент , то мы имели бы

.               (46.11)

Аналогично можно определить единичный элемент в нечетком группоиде. Покажем сначала на примере, что это действительно возможно, а затем перейдем к общему определению. Рассмотрим пример на рис. 45.2. Очевидно, что элемент  будет одновременно как левой, так и правой единицей, т. е. просто единицей. Действительно,  и ,

.            (46.12)

Будем говорить, что нечеткий группоид с законом композиции  обладает левой единицей , если

,             (46.13)

и правой единицей , если

,             (46.14)

и имеет единицу , если

.             (46.15)

В примере на рис. 45.2 представлен случай, когда нечеткий группоид имеет единицу. Теперь рассмотрим другой случай, когда нечеткий группоид не обладает единицей. Такая ситуация возникает в примере, рассматриваемом в (45.8)-(45.16). С помощью элемента  невозможно генерировать ни четкое подмножество, обладающее свойством (46.15), ни нечеткое подмножество, обладающее свойством (46.13) или (46.14).

Обратные элементы. Напомним, что понимается под обратным элементом в теории обычных множеств.

Рассмотрим закон, для которого существует единичный элемент . Теперь пусть  и  - два элемента. Если

,                    (46.16)

то говорят, что элемент  есть левый обратный элемент для . Аналогично, если

,                   (46.17)

то говорят, что  есть правый обратный элемент для . Наконец, если , то

                      (46.18)

и говорят, что  есть обратный элемент для .

В нечетком группоиде для каждого элемента можно попытаться определить обратный.

Обратимся опять к примеру на рис. 45.2. Мы уже видели, что здесь существует единица, а именно пара . Очевидно, что имеется только один элемент, который в композиции с самим собой дает ; это элемент .

Для всех остальных элементов, таких, что  и , имеем

.                       (46.19)

Следовательно, в группоиде на рис. 45.2 каждый элемент не имеет обратного.

В более общем случае, когда в качестве закона  используется  или , обратный элемент не существует.

В случае  существует единица, определяемая условием , ; в случае  существует единица, определяемая условием , . Но ни в одном из этих случаев, независимо от того, каково нечеткое подмножество , нельзя определить обратный элемент. Известно, что

.                      (46.20)

.                        (46.21)

Однако если  принять за единицу для , а  - в качестве единицы для , то это все равно не позволит определить обратные элементы; никакой элемент, скажем , не может дать

, за исключением случая  и ;                  (46.22)

, за исключением случая  и .                    (46.23)

Аналогично можно проверить, что для законов

,             (46.24)

              (46.25)

также нельзя определить обратные элементы.

Можно проверить, что это справедливо также для закона :

, определенного посредством                (46.26)

или закона :

, определенного посредством .                        (46.27)

Дистрибутивность. Пусть  и  представляют собой два закона внутренней композиции, определенных на одном и том же множестве . Если

,                  (46.28)

то говорят, что закон  дистрибутивен слева относительно закона .

Аналогично, если

,                 (46.29)

то говорят, что закон  дистрибутивен справа относительно закона .

Если закон  дистрибутивен относительно другого закона  и слева и справа, то говорят, что он дистрибутивен относительно . Тогда можно записать

.                       (46.30)

Можно, например, проверить, что закон  дистрибутивен относительно  и, наоборот, закон  дистрибутивен относительно . Для закона

              (46.31)

относительно  или  свойство дистрибутивности не имеет места.

Обычное подмножество нечеткого множества, замкнутое относительно закона композиции. Пусть , причем  наделено законом . Если для каждой упорядоченной пары

,                   (46.32)

то говорят, что  замкнуто относительно .

Рассмотрим, например, группоид, представленный на рис. 45.2. Можно проверить, что группоид

 замкнутый,               (46.33)

 незамкнутый.                       (46.34)

На рис. 46.1 представлен тот же группоид, что и на рис. 45.2, но наделенный законом : группоид

 незамкнутый,                       (46.35)

 незамкнутый,                                  (46.36)

 замкнутый.                              (46.37)

265-1.jpg

Рис. 46.1.

Интересно проследить, как получить замкнутые подмножества для примеров на рис. 45.2 и 46.1 с помощью диаграммы Хассе векторной решетки, представляющей  (см. рис. 46.2).

266.jpg

Рис. 46.2.

Правило состоит в следующем. Чтобы некоторое подмножество из  было замкнутым, оно должно содержать нижнюю грань любой пары , . Например, подмножество  замкнуто относительно . Это можно видеть на рис. 46.2. С другой стороны, подмножество  незамкнуто относительно . Такое же правило применяют и для операции , но только рассматривают верхние границы. Например, подмножество  незамкнуто относительно , а подмножество  - замкнуто.

Это свойство - общее для любого  каким бы ни было , поскольку, как мы видели,  всегда образует векторную решетку по отношению включения (см. § 6)  [т. е. ], для которого можно всегда рассматривать  и .

Подгруппоиды. Любое подмножество , замкнутое относительно закона , называется подгруппоидом группоида  и обозначается  или , если не возникает путаницы.

 

1
Оглавление
email@scask.ru