8. Алгебраическое произведение и сумма двух нечетких подмножеств

Пусть  - множество и  - связанное с ним множество принадлежностей; пусть  и  - два нечетких подмножества . Алгебраическое произведение  и  обозначается

               (8.1)

и определяется следующим образом:

.              (8.2)

Алгебраическая сумма этих двух подмножеств обозначается

             (8.3)

и определяется следующим образом:

.                   (8.4)

Рассмотрим, например, нечеткие подмножества  и , определенные в (5.25)-(5.27):

,                      (8.5)

.                    (8.6)

.             (8.7)

.                   (8.8)

Сделаем следующее важное замечание. Если , т. е. в случае обычных подмножеств, имеем

,                       (8.9)

.                       (8.10)

Действительно, если  и , то следующие таблицы эквивалентны (но за исключением немногих тривиальных случаев это не так, если ).

                        (8.11)

           (8.12)

В этой работе операции алгебраического произведения и суммирования используются довольно редко, однако они дают интересное направление для другого исследования.

Можно убедиться, что для двух операций  и  на множестве всех нечетких подмножеств справедливы только перечисленные ниже свойства; их значительно меньше, чем соответствующих свойств для операций  и  в множестве всех нечетких подмножеств, и, следовательно, меньше, чем в множестве всех обычных подмножеств. Легко проверяются следующие свойства:

,                  (8.17)

,                 (8.18)

,                   (8.19)

,                  (8.20)

 - инволюция,                     (8.21)

Для операций  и  свойства (7.5) и (7.6) (идемпотентность), свойства (7.7) и (7.8) (дистрибутивность), а также свойства (7.9) и (7.10) не выполняются. Отсутствие этих свойств, особенно свойства дистрибутивности, значительно обедняет структуру. Покажем на нескольких примерах, как доказываются свойства (8.13)-(8.23). Докажем, например, свойство (8.16). Положим

, ,              (8.24)

 выполняется, если                    (8.25)

.                 (8.26)

Избавляясь от скобок, приходим к очевидному тождеству

.                      (8.27)

Таким образом, формула (8.25) доказана.

Докажем (8.22). Равенство

               (8.28)

выполняется, если

.                      (8.29)

Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется. Например, покажем, что, вообще говоря,

.                      (8.30)

Для левой части уравнения получаем

,                      (8.31)

а для правой части

.                        (8.32)

Это доказывает, что дистрибутивность не выполняется, если .

Заметим, что операция  не дистрибутивна относительно  или , так же как и операция пересечения , однако с другой стороны имеем

,                     (8.33)

,                     (8.34)

,               (8.35)

.               (8.36)

Индекс нечеткости для произведения. Индекс нечеткости для произведения можно определить аналогично (5.119); положим

.                   (8.37)

Пример. Пусть

,                 (8.38)

,                  (8.39)

,               (8.40)

.              (8.41)

Относительно операций и  так же, как это было сделано в § 5, можно поставить следующий вопрос: больше или меньше индексы нечеткости для  или , чем индексы для  или/и ? К сожалению, как это можно показать на примерах, ответ зависит от выбора множеств  и .

Общее замечание о нечеткости. Мы уже видели, что каждая из операций , , , , будучи примененной к разным подмножествам одного и того же универсального множества, увеличивает или уменьшает нечеткость подмножества  не систематическим образом. При этом необходимо помнить, что когда речь идет об обработке нечетких подмножеств, то функции принадлежности предполагаются всегда известными.

Если - одна из четырех рассмотренных выше операций, то для произвольных  и , ,  априори нельзя сказать, будет ли величина  больше или меньше, чем  или .

Та же самая ситуация возникает при рассмотрении энтропии. Чтобы знать, как увеличить или уменьшить энтропию , нужно знать подмножество ; понятно, что знания только значения энтропии  для этого недостаточно.