3.2. Теорема сложения вероятностей
Теорема
сложения вероятностей формулируется следующим образом.
Вероятность
суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:
. (3.2.1)
Докажем
теорему сложения вероятностей для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта
сводятся к совокупности случаев, которые мы для наглядности изобразим в виде n точек:
Предположим,
что из этих случаев
благоприятны
событию
, а
– событию
. Тогда
Так как
события
и
несовместимы, то нет
таких случаев, которые благоприятны и
, и
вместе. Следовательно, событию
благоприятны
случаев и
Подставляя
полученные выражения в формулу (3.2.1), получим тождество. Теорема доказана.
Обобщим
теорему сложения на случай трех событий. Обозначая событие
буквой
, и присоединяя к сумме еще одно
событие
,
легко доказать, что
Очевидно,
методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число
несовместных событий. Действительно, предположим, что она справедлива для n событий:
и докажем, что она будет
справедлива для
событий:
Обозначим:
Имеем:
.
Но так как для n
событий мы считаем теорему уже доказанной, то
,
откуда
,
что и требовалось доказать.
Таким образом,
теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Её
удобнее записать в виде:
. (3.2.2)
Отметим
следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.
Следствие 1. Если события
образуют полную группу
несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:
.
Доказательство. Так как события
образуют полную
группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие:
.
Так как
- несовместные события, то к
ним применима теорема сложения вероятностей
,
откуда
,
что и требовалось доказать.
Перед тем
как вывести второе следствие теоремы сложения, определим понятие о
«противоположных событиях».
Противоположными событиями называются
два несовместных события, образующих полную группу.
Событие,
противоположное событию
, принято обозначать
.
Примеры
противоположных событий.
1)
– попадание при
выстреле,
-
промах при выстреле;
2)
– выпадение герба при
бросании монеты,
-
выпадение цифры при бросании монеты;
3)
– безотказная работа
всех элементов технической системы,
- отказ хотя бы одного элемента;
4)
– обнаружение не менее
двух бракованных изделий в контрольной партии,
- обнаружение не более одного
бракованного изделия.
Следствие 2. Сумма вероятностей
противоположных событий равна единице:
.
Это следствие
есть частный случай следствия 1. Оно выделено особо ввиду его большой важности
в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто
оказывается легче вычислить вероятность противоположного события
, чем вероятность
прямого события
.
В этих случаях вычисляют
и находят
.
Рассмотрим
несколько примеров на применение теоремы сложения и её следствий.
Пример 1. В лотерее 1000 билетов; из них на
один билет падает выигрыш 500 руб., на 100 билетов – выигрыши по 100 руб., на
50 билетов – выигрыши по 20 руб., на 100 билетов – выигрыши по 5 руб.,
остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность
выиграть не менее 20 руб.
Решение. Рассмотрим события:
– выиграть не менее 20
руб.,
- выиграть 20 руб.,
- выиграть 100 руб.,
- выиграть 500 руб.
Очевидно,
.
По теореме сложения вероятностей
.
Пример 2. Производится бомбометание по трем
складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в
первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из
складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.
Решение. Рассмотрим события:
– взрыв складов,
- попадание в первый
склад,
- попадание во второй
склад,
- попадание в третий
склад.
Очевидно,
.
Так как при сбрасывании одной
бомбы события
несовместны,
то
.
Пример 3. Круговая мишень (рис. 3.2.1)
состоит из трех зон: I, II
и III. Вероятность попадания в первую зону при
одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. Найти вероятность промаха.
Рис.
3.2.1.
Решение. Обозначим
– промах,
- попадание. Тогда
,
где
- попадание соответственно в первую,
вторую и третью зоны
,
откуда
.
Как уже
указывалось, теорема сложения вероятностей (3.2.1) справедлива только для
несовместных событий. В случае, когда события
и
совместны, вероятность суммы этих событий
выражается формулой
. (3.2.3)
В
справедливости формулы (3.2.3) можно наглядно убедиться, рассматривая рисунок
3.2.2.
Рис.
3.2.2.
Аналогично
вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле
.
Справедливость
этой формулы также наглядно следует из геометрической интерпретации (рис.
3.2.3).
Рис.
3.2.3.
Методом полной
индукции можно доказать общую формулу для вероятности суммы любого числа
совместных событий:
, (3.2.4)
где суммы распространяются на
различные значения индексов
, и т.д.
Формула
(3.2.4) выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности
произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д.
Аналогичную
формулу можно написать для произведения событий. Действительно, из рис. 3.2.2
непосредственно ясно, что
. (3.2.5)
Из рис. 3.2.3 видно, что
. (3.2.6)
Общая формула,
выражающая вероятность произведения произвольного числа событий через
вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д., имеет
вид:
. (3.2.7)
Формулы типа
(3.2.4) и (3.2.7) находят практическое применение при преобразовании различных
выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости от
специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает пользоваться только
суммами, а в других только произведениями событий: для преобразования одних в
другие и служат подобные формулы.
Пример. Техническое устройство состоит из
трех агрегатов: двух агрегатов первого типа -
и
- и одного агрегата второго типа –
. Агрегаты
и
дублируют друг друга: при отказе
одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Агрегат
не дублирован. Для
того, чтобы устройство прекратило работу (отказало), нужно, чтобы одновременно
отказали оба агрегата
и
или же агрегат
. Таким образом, отказ
устройства – событие
–
представляется в виде:
,
где
- отказ агрегата
,
- отказ агрегата
,
– отказ агрегата
.
Требуется
выразить вероятность события
через вероятности событий, содержащих
только суммы, а не произведения элементарных событий
,
и
.
Решение. По формуле (3.2.3) имеем:
; (3.2.8)
по формуле (3.2.5)
;
по формуле (3.2.6)
.
Подставляя эти
выражения в (3.2.8) и производя сокращения, получим:
.