ГЛАВА 12 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ
12.1. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента
В предыдущих главах мы
познакомились с методами определения числовых характеристик функций случайных
величин; главное удобство этих методов в том, что они не требуют нахождения
законов распределения функций. Однако иногда возникает необходимость в
определении не только числовых характеристик, но и законов распределения
функций.
Начнем с рассмотрения наиболее
простой задачи, относящейся к этому классу: задачи о законе распределения
функции одного случайного аргумента. Так как для практики наибольшее значение
имеют непрерывные случайные величины, будем решать задачу именно для них.
Имеется непрерывная случайная
величина 
с
плотностью распределения 
. Другая случайная величина 
связана с нею
функциональной зависимостью:
.
Требуется найти плотность
распределения величины .
Рассмотрим участок оси абсцисс 
, на котором лежат все
возможные значения величины , т. е.
.
В
частном случае, когда область возможных значений ничем не ограничена, 
, 
.
Способ решения поставленной
задачи зависит от поведения функции 
на участке : возрастает ли она на этом участке или
убывает, или колеблется.
В данном 
мы рассмотрим случай, когда
функция 
участке
монотонна.
При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и
монотонного убывания функции.
1. Функция на участке монотонно возрастает (рис.
12.1.1). Когда величина принимает различные значения на участке , случайная точка 
перемещается только по
кривой ;
ордината этой случайной точки полностью определяется ее абсциссой.
Рис. 12.1.1.
Обозначим 
плотность распределения
величины . Для
того чтобы определить , найдем сначала функцию распределения
величины :
.
Проведем прямую 
, параллельную оси
абсцисс на расстоянии 
от нее (рис. 12.1.1). Чтобы выполнялось
условие 
,
случайная точка должна
попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой ; для этого необходимо и
достаточно, чтобы случайная величина попала на участок оси абсцисс от 
до 
, где - абсцисса точки пересечения
кривой и
прямой .
Следовательно,
.
Верхний предел интеграла можно выразить через :
,
где
- функция,
обратная функции .
Тогда
. (12.1.1)
Дифференцируя интеграл (12.1.1)
по переменной ,
входящей в верхний предел, получим:
. (12.1.2)
2. Функция на участке монотонно убывает (рис.
12.1.2).
Рис. 12.1.2.
В
этом случае
,
откуда
. (12.1.3)
Сравнивая формулы (12.1.2) и
(12.1.3), замечаем, что они могут быть объединены в одну:
. (12.1.4)
Действительно,
когда возрастает,
ее производная (а значит, и 
) положительна. При убывающей функции производная отрицательна, но зато
перед ней в формуле (12.1.3) стоит минус. Следовательно, формула (12.1.4), в
которой производная берется по модулю, верна в обоих случаях. Таким образом,
задача о законе распределения монотонной функции решена.
Пример. Случайная величина подчинена закону Коши
с плотностью распределения:
.
Величина
связана с зависимостью
.
Найти
плотность распределения величины .
Решение. Так как функция 
монотонна на участке 
, можно применить формулу
(12.1.4). Решение задачи оформим в виде двух столбцов: в левом будут помещены
обозначения функций, принятые в общем решении задачи, в правом - конкретные
функции, соответствующие данному примеру:
