12.8. Композиция нормальных законов на плоскости

Пусть в системе координат  заданы два независимых случайных вектора:  с составляющими  и  с составляющим . Допустим, что каждый из них распределен нормально, причем параметры первого вектора равны

, , , , ,

а параметры второго -

, , , , .

Требуется определить закон распределения случайного вектора  (рис. 12.8.1), составляющие которого равны:

;

.

Рис. 12.8.1.

Не представляет трудности качественно доказать (аналогично тому как мы это сделали для случая композиции двух нормальных законов в  12.6), что вектор  также распределен нормально. Мы примем это положение без специального доказательства.

Определим параметры закона распределения вектора .

По теореме сложения математических ожиданий

                              (12.8.1)

По теореме сложения дисперсий

                               (12.8.2)

По теореме сложения корреляционных моментов

,

или, переходя к коэффициентам корреляции,

,

откуда

.                (12.8.3)

Таким образом, задача композиции нормальных законов на плоскости решается формулами (12.8.1), (12.8.2) и (12.8.3).

Эти формулы выведены для того случая, когда оба исходных нормальных закона (для векторов  и ) заданы в одной и той же координатной системе . На практике иногда встречается случай, когда нужно произвести композицию двух нормальных законов на плоскости, каждый из которых задан в своей системе координат, а именно в своих главных осях рассеивания. Дадим способ композиции нормальных законов для этого случая.

Пусть на плоскости  (рис. 12.8.2) даны два нормально распределенных некоррелированных случайных вектора  и .

Рис. 12.8.2.

Каждый из векторов характеризуется своим единичным эллипсом рассеивания: вектор  - эллипсом с центром в точке  с полуосями , из которых первая образует с осью  угол ; аналогичные характеристики для вектора  будут: ,,. Требуется найти параметры единичного эллипса рассеивания, характеризующего вектор . Обозначим их

,,.

Так как положение центра рассеивания не зависит от выбора системы координат, очевидно, по-прежнему будут справедливы соотношения:

,

.

Для того чтобы найти элементы корреляционной матрицы вектора , спроектируем случайные точки, соответствующие векторам  и , на оси  и . Пользуясь формулой (10.3.3), получим:

                (12.8.4)

Коэффициенты корреляции составляющих векторов  и  в системе координат  найдем из соотношения (9.2.2):

              (12.8.5)

Далее задача композиции нормальных законов на плоскости сводится к предыдущей. Зная , можно найти углы, составленные осями суммарного эллипса с осью абсцисс, по формуле (9.2.2):

,                (12.8.6)

и главные средние квадратические отклонения - по формулам (9.2.4):

                (12.8.7)

Последние соотношении справедливы не только для средних квадратических отклонений, но и для пропорциональных им вероятных отклонений:

               (12.8.8)

Перейдем к композиции произвольного числа нормальных законов на плоскости.

С наиболее простым случаем композиции произвольного числа формальных законов мы встречаемся тогда, когда главные оси рассеивания для всех законов, подлежащих композиции, параллельны друг другу. Тогда, выбирая координатные оси параллельно этим главным осям рассеивания, мы будем иметь дело с системами независимых случайных величин, и композиция нормальных законов выполняется по простым формулам:

                       (12.8.9)

где  - главные средние квадратические отклонения соответствующих законов.

В случае, когда направления главных осей не совпадают, можно составить композицию нескольких нормальных законов тем же методом, которым мы пользовались выше для двух законов, т. е. проектируя складываемые случайные векторы на оси одной и той же системы координат.

На практике часто встречаются случаи, когда в числе законов, подлежащих композиции, встречаются так называемые «вырожденные» законы, т. е. законы, характеризующиеся эллипсом рассеивания, имеющим только одну полуось (другая равна нулю). Такие «вырожденные» законы дают рассеивание только в одном направлении. При композиции таких законов нужно поступать так же, как при композиции обычных законов, полагая некоторые параметры (средние квадратические или вероятные отклонения) равными нулю.

Пример 1. Ошибка бомбометания вызвана совместным действием следующих факторов:

1) техническое рассеивание бомб;

2) неточность прицеливания по дальности;

3) неточная наводка в боковом направлении.

Все эти факторы независимы. Техническое рассеивание бомб дает единичный эллипс рассеивания в виде круга радиусом 20 м. Ошибка прицеливания по дальности действует только в направлении полета и имеет среднее квадратическое отклонение 40 м; центр рассеивания сдвинут вперед по полету на 5 м. Ошибка боковой наводки действует только в направлении, перпендикулярном к полету, и имеет среднее квадратическое отклонение 30 м; центр рассеивания смещен вправо на 10 м. Найти параметры нормального закона, которому подчинена суммарная ошибка бомбометания, вызванная совместным действием всех перечисленных факторов.

Решение. Так как главные оси всех перечисленных в задаче эллипсов (из которых второй и третий вырождены) параллельны, то можно применить правило композиции нормальных законов с независимыми составляющими (формулы (12.8.9)). Выбирая ось  по направлению полета, ось  - перпендикулярно к нему, имеем:

,         ,

,                     (м),

,                    (м).

Пример 2. Производится воздушная стрельба с самолета по самолету; рассеивание точек попадания рассматривается на вертикальной плоскости, перпендикулярной к направлению стрельбы. Причины рассеивания точек попадания состоят в следующем:

1) ошибки, связанные с неоднородностью баллистики снарядов и колебаниями установки;

2) ошибки наводки;

3) ошибки, вызванные неточностью определения дальности;

4) инструментальные ошибки прицела.

Главные оси рассеивания, вызванного первой причиной, расположены горизонтально и вертикально, и главные средние квадратические отклонена равны соответственно 1 и 2 м; ошибка наводки дает круговое рассеивание со средним квадратическим отклонением 3 м; ошибка, вызванная неточностью определения дальности, дает рассеивание только вдоль оси, наклоненной к горизонту под углом 30°, со с.к.о. 4 м; инструментальные ошибки прицела дают круговое рассеивание со с.к.о. 2 м. Систематические ошибки равны нулю.

Требуется найти параметры закона распределения суммарной ошибки, вызванной всеми перечисленными факторами.

Решение. Выбираем систему координат с горизонтальной осью  и вертикальной . Эти оси являются главными осями рассеивания для всех законов, кроме третьего (ошибки вследствие неточности определения дальности). Обозначим составляющие каждой ошибки в системе координат  соответственно:

.

Параметры этих составляющих равны соответственно:

;

; ; ; .

Что касается величин  и , то их мы определяем, проектируя случайную точку  на оси  и  по формулам (12.8.4):

;

.

Коэффициент корреляции величин  найдем по формуле (12.8.5)

,

что и естественно, так как рассеивание сосредоточено на одной прямой и, следовательно, величины  и  зависимы функционально.

Применяя теорему сложения дисперсий, имеем:

;      (м);

;      (м).

Коэффициент корреляции  найдем, применяя теорему сложения корреляционных моментов:

,

откуда

.

Определим угол , который составляет с осью первая главная ось рассеивания:

,

;   .

По формулам (12.8.8) имеем:

 (м);

 (м).