3.4. Формула полной вероятности

Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий:

,

образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

Докажем, что в этом случае

,           (3.4.1)

т.е. вероятность события  вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (3.4.1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Так как гипотезы  образуют полную группу, то событие  может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

.

Так как гипотезы  несовместны, то и комбинации  также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:

.

Применяя к событию  теорему умножения, получим:

,

что и требовалось доказать.

Пример 1. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй – три белых и один черный; в третьей – два белых и два черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Рассмотрим три гипотезы:

 - выбор первой урны,

- выбор второй урны,

 - выбор третьей урны

и событие  – появление белого шара.

Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможные, то

.

Условные вероятности события  при этих гипотезах соответственно равны:

.

По формуле полной вероятности

.

Пример 2. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

Решение. Рассмотрим четыре гипотезы:

 - в самолет не попало ни одного снаряда,

 - в самолет попал один снаряд,

 - в самолет попало два снаряда,

 - в самолет попало три снаряда.

Пользуясь теоремами сложения и умножения, найдем вероятности этих гипотез:

Условные вероятности события  (выход самолета из строя) при этих гипотезах равны:

.

Применяя формулу полной вероятности, получим:

Заметим, что первую гипотезу  можно было бы и не вводить в рассмотрение, так как соответствующий член в формуле полной вероятности обращается в нуль. Так обычно и поступают при применении формулы полной вероятности, рассматривая не полную группу несовместных гипотез, а только те из них, при которых данное событие возможно.

Пример 3. Работа двигателя контролируется двумя регуляторами. Рассматривается определенный период времени , в течение которого желательно обеспечить безотказную работу двигателя. При наличии обоих регуляторов двигатель отказывается с вероятностью , при работе только первого из них – с вероятностью , при работе только второго - , при отказе обоих регуляторов – с вероятностью . Первый из регуляторов имеет надежность , второй - . Все элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти полную надежность (вероятность безотказной работы) двигателя.

Решение. Рассмотрим гипотезы:

 - работают оба регулятора,

 - работает только первый регулятор (второй вышел из строя),

 - работает только второй регулятор (первый вышел из строя),

 - оба регулятора вышли из строя

и событие

 – безотказная работа двигателя.

Вероятности гипотез равны:

Условные вероятности события  при этих гипотезах заданы:

По формуле полной вероятности получим: