19.10. Система массового обслуживания с ожиданием

Система массового обслуживания называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.

Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Для практики наибольший интерес представляют именно системы смешанного типа.

Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что оно ограничено сверху каким-то сроком , который может быть как строго определенным, так и случайным. При этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, клиент в парикмахерской, сев в кресло, обычно уже не уходит до конца обслуживания). В других задачах естественнее наложить ограничение не на время ожидания в очереди, а на общее время пребывания заявки в системе (например, воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы лишь ограниченное время и покидает ее независимо от того, кончился обстрел или нет). Наконец, можно рассмотреть и такую смешанную систему (она ближе всего к типу торговых предприятий, торгующих предметами не первой необходимости), когда заявка становится в очередь только в том случае, если длина очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди.

В системах с ожиданием существенную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие заявки могут вызываться на обслуживание как в порядке очереди (раньше прибывший раньше и обслуживается), так и в случайном, неорганизованном порядке. Существуют системы массового обслуживания «с преимуществами», где некоторые заявки обслуживаются предпочтительно перед другими («генералы и полковники вне очереди»).

Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою математическую теорию. Многие из них описаны, например, в книге В. В. Гнеденко «Лекции по теории массового обслуживания».

Здесь мы остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.

Рассмотрим смешанную систему массового обслуживания  с  каналами при следующих условиях. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью . Время обслуживания одной заявки  - показательное, с параметром . Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым сроком ; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания  будем считать случайным и распределенным по показательному закону

               ,

где параметр  - величина, обратная среднему сроку ожидания:

;       .

Параметр  полностью аналогичен параметрам  и  потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания , после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность .

Очевидно, при  система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при  она превращается в чистую систему с ожиданием.

Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.

Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Напишем уравнения для вероятностей состояний системы. Для этого, прежде всего, перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Возможные состояния системы будут:

 - ни один канал не занят (очереди нет),

 - занят ровно один канал (очереди нет),

………

 - занято ровно  каналов (очереди нет),

………

 - заняты все  каналов (очереди нет),

 - заняты все  каналов, одна заявка стоит в очереди,

………

 - заняты все  каналов,  заявок стоят в очереди,

………

Число заявок , стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система  имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, число описывающих ее дифференциальных уравнений тоже будет бесконечным.

Очевидно, первые  дифференциальных уравнений ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга:

Отличие новых уравнений от уравнений Эрланга начнется при . Действительно, в состояние  система с отказами может перейти только из состояния ; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние  не только из , но и из  (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).

Составим дифференциальное уравнение для . Зафиксируем момент  и найдем  - вероятность того, что система в момент  будет в состоянии . Это может осуществиться тремя способами:

1) в момент  система уже была в состоянии , а за время  не вышла из него (не пришла ни одна заявка и ни один из каналов не освободился);

2) в момент  система была в состоянии , а за время  перешла в состояние  (пришла одна заявка);

3) в момент  система была в состоянии  (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди), а за время  перешла в  (либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока).

Имеем:

,

откуда

.

Вычислим теперь  при любом  - вероятность того, что в момент  все  каналов будут заняты и ровно  заявок будут стоять в очереди. Это событие снова может осуществиться тремя способами:

1) в момент  система уже была в состоянии , а за время  это состояние не изменилось (значит, ни одна заявка не пришла, ни один капал не освободился и ни одна из  стоящих в очереди заявок не ушла);

2) в момент  система была в состоянии , а за время  перешла в состояние  (т. е. пришла одна заявка);

3) в момент  система была в состоянии , а за время  перешла в состояние  (для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из  стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока).

Следовательно:

,

откуда

.

Таким образом, мы получили для вероятностей состояний систему бесконечного числа дифференциальных уравнений:

            (19.10.1)

Уравнения (19.10.1) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с ограниченным временем ожидания. Параметры  в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (19.10.1) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности  при возрастании  становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.

Выведем формулы, аналогичные формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы при установившемся режиме обслуживания (при ). Из уравнений (19.10.1), полагая все   постоянными, а все производные - равными нулю, получим систему алгебраических уравнений:

             (19.10.2)

К ним нужно присоединить условие:

.                                         (19.10.3)

Найдем решение системы (19.10.2).

Для этого применим тот же прием, которым мы пользовались в случае системы с отказами: разрешим первое уравнение относительно  подставим во второе, и т. д. Для любого , как и в случае системы с отказами, получим:

.                                  (19.10.4)

Перейдем к уравнениям для  . Тем же способом получим:

,

,

и вообще при любом

.                          (19.10.5)

В обе формулы (19.10.4) и (19.10.5) в качестве сомножителя входит вероятность . Определим ее из условия (19.10.3). Подставляя в него выражения (19.10.4) и (19.10.5) для  и , получим:

,

откуда

.                 (19.10.6)

Преобразуем выражения (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6), вводя в них вместо плотностей  и  «приведенные» плотности:

                                (19.10.7)

Параметры и  выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки.

В новых обозначениях формулы (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6) примут вид:

                ;                (19.10.8)

  ;                       (19.10.9)

.              (19.10.10)

Подставляя (19.10.10) в (19.10.8) и (19.10.9), получим окончательные выражения для вероятностей состояний системы:

    ;                (19.10.11)

                        .                       (19.10.12)

Зная вероятности всех состояний системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в частности, вероятность  того, что заявка покинет систему необслуженной. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме вероятность  того, что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок уходящих из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое ожидание  числа заявок, находящихся в очереди:

.                    (19.10.13)

Чтобы получить , нужно  умножить на среднюю «плотность уходов» одной заявки  и разделить на среднюю плотность заявок , т. е. умножить на коэффициент

.

Получим:

.                     (19.10.14)

Относительная пропускная способность системы характеризуется вероятностью того, что заявка, попавшая в систему, будет обслужена:

.

Очевидно, что пропускная способность системы с ожиданием, при тех же  и , будет всегда выше, чем пропускная способность системы с отказами: в случае наличия ожидания необслуженными уходят не все заявки, заставшие  каналов занятыми, а только некоторые. Пропускная способность увеличивается при увеличении среднего времени ожидания .

Непосредственное пользование формулами (19.10.11), (19.10.12) и (19.10.14) несколько затруднено тем, что в них входят бесконечные суммы. Однако члены этих сумм быстро убывают.

Посмотрим, во что превратятся формулы (19.10.11) и (19.10.12) при  и . Очевидно, что при  система с ожиданием должна превратиться в систему с отказами (заявка мгновенно уходит из очереди). Действительно, при  формулы (19.10.12) дадут нули, а формулы (19.10.11) превратятся в формулы Эрланга для системы с отказами.

Рассмотрим другой крайний случай: чистую систему с ожиданием . В такой системе заявки вообще не уходят из очереди, и поэтому : каждая заявка рано или поздно дождется обслуживания. Зато в чистой системе с ожиданием не всегда имеется предельный стационарный режим при . Можно доказать, что такой режим существует только при , т. е. когда среднее число заявок, приходящееся на время обслуживания одной заявки, не выходит за пределы возможностей -канальной системы. Если же , число заявок, стоящих в очереди, будет с течением времени неограниченно возрастать.

Предположим, что , и найдем предельные вероятности   для чистой системы с ожиданием. Для этого положим в формулах (19.9.10), (19.9.11) и (19.9.12) . Получим:

,

или, суммируя прогрессию (что возможно только при ),

.                   (19.10.15)

Отсюда, пользуясь формулами (19.10.8) и (19.10.9), найдем

                    ,     (19.10.16)

и аналогично для  

.                (19.10.17)

Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется из формулы (19.10.13) при :

.                   (19.10.18)

Пример 1. На вход трехканальной системы с неограниченным временем ожидания поступает простейший поток заявок с плотностью  (заявки в час). Среднее время обслуживания одной заявки  мин. Определить, существует ли установившийся режим обслуживания; если да, то найти вероятности , вероятность наличия очереди и среднюю длину очереди .

Решение. Имеем ;  . Так как , установившийся режим существует. По формуле (19.10.16) находим

;  ;  ;  .

Вероятность наличия очереди:

.

Средняя длина очереди по формуле (19.10.18) будет

 (заявки).