4.2. Общая теорема о повторении опытов

Частная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события  во всех опытах одна и та же. На практике часто приходится встречаться  с более сложным случаем, когда опыты производятся в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется. Например, если производится ряд выстрелов в переменных условиях (скажем, при изменяющейся дальности), то вероятность попадания от выстрела к выстрелу может заметно меняться.

Способ вычисления вероятности заданного числа появлений события в таких условиях дает общая теорема о повторении опытов.

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появится или не появиться некоторое событие , причем вероятность появления события  в i-м опыте равна , а вероятность непоявления . Требуется найти вероятность  того, что в результате  опытов событие  появится ровно  раз.

Обозначим по-прежнему  событие, состоящее в том, что событие  появится  раз в  опытах. По-прежнему представим  как сумму произведений элементарных событий:

причем в каждое из произведений событие  входит  раз, событие  -  раз. Число таких комбинаций по-прежнему будет , но сами комбинации между собой будут уже неравновероятны.

Применяя теорему сложения и теорему умножения для независимых событий, получим:

т.е. искомая вероятность равна сумме всех возможных произведений, в которых буквы  с разными индексами входят  раз, а буквы  с разными индексами  раз.

Для того чтобы чисто механически составлять все возможные произведения из  букв  и  букв  с разными индексами, применим следующий формальный прием. Составим произведение  биномов:

или короче

,

где  – произвольный параметр.

Зададимся целью найти в этом произведении биномов коэффициент при . Для этого перемножим биномы и произведем приведение подобных членов. Очевидно, каждый член, содержащий , будет иметь в качестве коэффициента произведение  букв  с какими-то индексами и  букв , а после приведения подобных членов коэффициент при  будет представлять собой сумму всех возможных произведений такого типа. Следовательно, способ составления этого коэффициента полностью совпадает со способом вычисления вероятности  в задаче о повторении опытов.

Функция , разложение которой по степеням параметра  дает в качестве коэффициентов вероятности , называется производящей функцией вероятностей , или просто производящей функцией.

Пользуясь понятием производящей функции, можно сформулировать теорему о повторении опытов в следующем виде.

Вероятность того, что событие  в  независимых опытах появится ровно  раз, равна коэффициенту при  в выражении производящей функции:

,

где  - вероятность появления события  в i-м опыте, .

Вышеприведенная формулировка общей теоремы о повторении опытов, в отличие от частной теоремы, не дает явного выражения для вероятности . Такое выражение в принципе  написать можно, но оно является слишком сложным, и мы не будем его приводить. Однако, не прибегая к такому явному выражению, все же можно записать общую теорему о повторении опытов в виде одной формулы:

.               (4.2.1)

Левая и правая части равенства (4.2.1) представляют собою одну и ту же производящую функцию , только слева она написана в виде одночлена, а справа – в виде многочлена. Раскрывая скобки в левой части и выполняя приведение подобных членов, получим все вероятности:

как коэффициенты соответственно при нулевой, первой и т.д. степенях .

Очевидно, частная теорема о повторении опытов вытекает из общей при

В этом случае производящая функция обращается в -ю степень бинома :

.

Раскрывая это выражение по формуле бинома, имеем:

,

откуда следует формула (4.1.1).

Отметим, что, как в общем, так и в частном случае, сумма всех вероятностей  равна единице:

.          (4.2.2)

Это следует, прежде всего, из того, что события образуют полную группу несовместных событий. Формально к равенству (4.2.2) можно прийти, полагая в общей формуле (4.2.1) .

Во многих случаях практики, кроме вероятности  ровно  появлений события А, приходится рассматривать вероятность не менее  появлений события А.

Обозначим  событие, состоящее в том, что событие А появится не менее  раз, а вероятность события  обозначим . Очевидно,

,

откуда, по теореме сложения,

,

или короче

.             (4.2.3)

При вычислении  часто бывает удобнее не пользоваться непосредственно формулой (4.2.3), а переходить к противоположному событию и вычислять вероятность  по формуле

.           (4.2.4)

Пример 1. Производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний; вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно

.

Найти вероятности ни одного, одного, двух, трех и четырех попаданий:

.

Решение. Составляем производящую функцию:

откуда

.

Пример 2. Производится 4 независимых выстрела в одинаковых условиях, причем вероятность попадания p есть средняя из вероятностей  предыдущего примера:

.

Найти вероятности

.

Решение. По формуле (4.1.1) имеем:

Пример 3. Имеется 5 станций, с которыми поддерживается связь. Время от времени связь прерывается из-за атмосферных помех. Вследствие удаленности станций друг от друга перерыв связи с каждой из них происходит независимо от остальных с вероятностью . Найти вероятность того, что в данный момент времени имеется связь не более чем с двумя станциями.

Решение. Событие, о котором идет речь, сводится к тому, что будет нарушена связь не менее, чем стремя станциями. По формуле (4.2.3) получим:

Пример 4. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из 10 единиц. Каждый из объектов может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. найти вероятность того, что хотя бы один из объектов будет потерян.

Решение. Вероятность потери хотя бы одного объекта  можно было бы найти по формуле

,

но несравненно проще воспользоваться вероятностью противоположного события – ни один объект не потерян – и вычесть её из единицы:

.

Пример 5. Прибор состоит из 8 однородных элементов, но может работать при наличии в исправном состоянии не менее 6 из них. Каждый из элементов за время работы прибора  выходит из строя независимо от других с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что прибор откажет за время .

Решение. Для отказа прибора требуется выход из строя не менее двух из восьми элементов. По формуле (4.2.4) имеем:

.

Пример 6. Производится 4 независимых выстрела с самолета по самолету. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Для поражения (выхода из строя) самолета заведомо достаточно двух попаданий; при одном самолет поражается с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

Решение. Задача решается по формуле полной вероятности. Можно было бы рассмотреть гипотезы

 - в самолет попал 1 снаряд,

 - в самолет попало 2 снаряда,

 - в самолет попало 3 снаряда,

 - в самолет попало 4 снаряда

и находить вероятность события А – поражения самолета – с помощью этих четырех гипотез. Однако значительно проще рассмотреть всего две гипотезы:

 - в самолет не попало ни одного снаряда,

 - в самолет попал 1 снаряд,

и вычислять вероятность события  - непоражения самолета:

Имеем:

Следовательно,

,

откуда

.