14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону

В предыдущем  мы рассмотрели грубо приближенные методы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. В данном  мы дадим представление о точных методах решения той же задачи. Подчеркнем, что для точного нахождения доверительных интервалов совершенно необходимо знать заранее вид закона распределения величины , тогда как для применения приближенных методов это не обязательно.

Идея точных методов построения доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка . Закон распределения оценки  в общем случае зависит от самих неизвестных параметров величины . Однако иногда удается перейти в неравенствах от случайной величины  к какой-либо другой функции наблюденных значений , закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов  и от вида закона распределения величины . Такого рода случайные величины играют большую роль в математической статистике; они наиболее подробно изучены для случая нормального распределения величины .

Например, доказано, что при нормальном распределении величины  случайная величина

,                       (14.4.1)

где

,  ,

подчиняется так называемому закону распределения Стьюдента с  степенями свободы; плотность этого закона имеет вид

,                          (14.4.2)

где  - известная гамма-функция:

.

Доказано также, что случайная величина

              (14.4.3)

имеет «распределение » с  степенями свободы (см. гл. 7. стр. 145), плотность которого выражается формулой

                        (14.4.4)

Не останавливаясь на выводах распределений (14.4.2) и (14.4.4), покажем, как их можно применить при построении доверительных интервалов для параметров  и .

Пусть произведено  независимых опытов над случайной величиной , распределенной по нормальному закону с неизвестными параметрами  и . Для этих параметров получены оценки

, .

Требуется построить доверительные интервалы для обоих параметров, соответствующие доверительной вероятности .

Построим сначала доверительный интервал для математического ожидания. Естественно этот интервал взять симметричным относительно ; обозначим  половину длины интервала. Величину  нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие

.             (14.4.5)

Попытаемся перейти в левой части равенства (14.4.5) от случайной величины  к случайной величине , распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства  на положительную величину :

или, пользуясь обозначением (14.4.1),

.                            (14.4.6)

Найдем такое число , что

.                    (14.4.7)

Величина  найдется из условия

.                    (14.4.8)

Из формулы (14.4.2) видно, что  - четная функция; поэтому (14.4.8) дает

.                  (14.4.9)

Равенство (14.4.9) определяет величину  в зависимости от . Если иметь в своем распоряжении таблицу значений интеграла

,

то величину можно найти обратным интерполированием в этой таблице. Однако удобнее составить заранее таблицу значений . Такая таблица дается в приложении (см. табл. 5). В этой таблице приведены значения  в зависимости от доверительной вероятности  и числа степеней свободы . Определив  по таблице 5 и полагая

,              (14.4.10)

мы найдем половину ширины доверительного интервала  и сам интервал

.                     (14.4.11)

Пример 1. Произведено 5 независимых опытов над случайной величиной , распределенной нормально с неизвестными параметрами  и . Результаты опытов приведены в таблице 14.4.1.

Таблица 14.4.1

Найти оценку  для математического ожидания и построить для него 90%-й доверительный интервал (т. е. интервал, соответствующий доверительной вероятности ).

Решение. Имеем

; .

По таблице 5 приложения для  и  находим

,

откуда

.

Доверительный интервал будет

.

Пример 2. Для условий примера 1  14.3, предполагая величину  распределенной нормально, найти точный доверительный интервал.

Решение. По таблице 5 приложения находим при  и

; отсюда .

Сравнивая с решением примера 1  14.3 (), убеждаемся, что расхождение весьма незначительно. Если сохранить точность до второго знака после запятой, то доверительные интервалы, найденные точным и приближенным методами, совпадают:

.

Перейдем к построению доверительного интервала для дисперсии.

Рассмотрим несмещенную оценку дисперсии

и выразим случайную величину  через величину  (14.4.3), имеющую распределение  (14.4.4):

.               (14.4.12)

Зная закон распределения величины , можно найти интервал , в который она попадает с заданной вероятностью .

Закон распределения  величины  имеет вид, изображенный на рис. 14.4.1.

Рис. 14.4.1.

Возникает вопрос: как выбрать интервал ? Если бы закон распределения величины  был симметричным (как нормальный закон или распределение Стьюдента), естественно было бы взять интервал  симметричным относительно математического ожидания. В данном случае закон  несимметричен. Условимся выбирать интервал так, чтобы вероятности выхода величины  за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рис. 14.4.1) были одинаковы и равны

.

Чтобы построить интервал  с таким свойством, воспользуемся таблицей 4 приложения: в ней приведены числа  такие, что

для величины , имеющей  распределение с  степенями свободы. В нашем случае . Зафиксируем  и найдем в соответствующей строке табл. 4 два значения ; одно, отвечающее вероятности , другое - вероятности . Обозначим эти значения  и . Интервал  имеет  своим левым, а  - правым концом.

Теперь найдем по интервалу  искомый доверительный интервал  для дисперсии с границами  и , который накрывает точку  с вероятностью :

.

Построим такой интервал , который накрывает точку  тогда и только тогда, когда величина  попадает в интервал . Покажем, что интервал

                             (14.4.13)

удовлетворяет этому условию. Действительно, неравенства

;

равносильны неравенствам

; ,

а эти неравенства выполняются с вероятностью . Таким образом, доверительный интервал для дисперсии найден и выражается формулой (14.4.13).

Пример 3. Найти доверительный интервал для дисперсии в условиях примера 2  14.3, если известно, что величина  распределена нормально.

Решение. Имеем ; ; . По таблице 4 приложения находим при

для                    ;

для   .

По формуле (14.4.13) находим доверительный интервал для дисперсии

.

Соответствующий интервал для среднего квадратического отклонения: . Этот интервал лишь незначительно превосходит полученный в примере 2 14.3 приближенным методом интервал .