16.3. Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями

Пусть на вход некоторой линейной системы  поступает случайная функция  (рис. 16.3.1).

Рис. 16.3.1.

Система преобразует функцию  посредством линейного оператора и на выходе мы получаем случайную функцию

.                                 (16.3.1)

Предположим, что случайная функция  задана ее каноническим разложением:

.                 (16.3.2)

Определим реакцию системы на это воздействие. Так как оператор системы является линейным, то

.              (16.3.3)

Рассматривая выражение (16.3.3), легко убедиться, что оно представляет собой не что иное, как каноническое разложение случайной функции  с математическим ожиданием

                              (16.3.4)

и координатными функциями

.                                (16.3.5)

Таким образом, при линейном преобразовании канонического разложения случайной функции  получается каноническое разложение случайной функции , причем математическое ожидание и координатные функции подвергаются тому же линейному преобразованию.

Если случайная функция  на выходе линейной системы получена в виде канонического разложения

,                  (16.3.6)

то ее корреляционная функция и дисперсия находятся весьма просто:

,              (16.3.7)

.                                 (16.3.8)

Это делает особенно удобными именно канонические разложения по сравнению с любыми другими разложениями по элементарным функциям.

Рассмотрим несколько подробнее применение метода канонических разложений к определению реакции динамической системы на случайное входное воздействие, когда работа системы описывается линейным дифференциальным уравнением, в общем случае - с переменными коэффициентами. Запишем это уравнение в операторной форме:

.                        (16.3.9)

Согласно вышеизложенным правилам линейных преобразований случайных функций математические ожидания воздействия и реакции должны удовлетворять тому же уравнению:

.                    (16.3.10)

Аналогично каждая из координатных функций должна удовлетворять тому же дифференциальному уравнению:

,  .                      (16.3.11)

Таким образом, задача определения реакции линейной динамической системы на случайное воздействие свелась к обычной математической задаче интегрирования  обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих обычные, не случайные функции. Так как при решении основной задачи анализа динамической системы - определения ее реакции на заданное воздействие - задача интегрирования дифференциального уравнения, описывающего работу системы, тем или другим способом решается, то при решении уравнений (16.3.10) и (16.3.11) новых математических трудностей не возникает. В частности, для решения этих уравнений могут быть с успехом применены те же интегрирующие системы или моделирующие устройства, которые применяются для анализа работы системы без случайных возмущений.

Остается осветить вопрос о начальных условиях, при которых следует интегрировать уравнения (16.3.10) и (16.3.11).

Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда начальные условия для данной динамической системы являются неслучайными. В этом случае при  должны выполняться условия:

                                         (16.3.12)

где  - неслучайные числа.

Условия (16.3.12) можно записать более компактно:

   ,                               (16.3.13)

понимая при этом под «производной нулевого порядка»  саму функцию .

Выясним, при каких начальных условиях должны интегрироваться уравнения (16.3.10) и (16.3.11). Для этого найдем -ю производную функции  и положим в ней :

.

Учитывая (16.3.12), имеем:

.              (16.3.14)

Так как величина  не случайна, то дисперсия левой части равенства (16.3.14) должна быть равна нулю:

.                        (16.3.15)

Так как все дисперсии  величин  положительны, то равенство (16.3.15) может осуществиться только, когда

                            (16.3.16)

для всех .

Подставляя  в формулу (16.3.14), получим:

.             (16.3.17)

Из равенства (16.3.17) следует, что уравнение (16.3.10) для математического ожидания должно интегрироваться при заданных начальных условиях (16.3.12):

                       (16.3.18)

Что касается уравнений (16.3.11), то они должны интегрироваться при нулевых начальных условиях:

.             (16.3.19)

Рассмотрим более сложный случай, когда начальные условия случайны:

                             (16.3.20)

где  - случайные величины.

В этом случае реакция на выходе системы может быть найдена в виде суммы:

,              (16.3.21)

где  - решение дифференциального уравнения (16.3.9) при нулевых начальных условиях;  - решение того же дифференциального уравнения, но с нулевой правой частью при заданных начальных условиях (16.3.20). Как известно из теории дифференциальных уравнений, это решение представляет собой линейную комбинацию начальных условий:

,               (16.3.22)

где  - неслучайные функции.

Решение  может быть получено изложенным выше методом в форме канонического разложения. Корреляционная функция случайной функции  может быть найдена обычными приемами сложения случайных функций (см.  15.8).

Следует заметить, что на практике весьма часто встречаются случаи, когда для моментов времени, достаточно удаленных от начала случайного процесса, начальные условия уже не оказывают влияния на его течение: вызванные ими переходные процессы успевают затухнуть. Системы, обладающие таким свойством, называются асимптотически устойчивыми. Если нас интересует реакция асимптотически устойчивой динамической системы на участках времени, достаточно удаленных от начала, то можно ограничиться исследованием решения , полученного при нулевых начальных условиях. Для достаточно удаленных от начального моментов времени это решение будет справедливым и при любых начальных условиях.