11.2. Линеаризация функции одного случайного аргумента

На практике необходимость в линеаризации функции одного случайного аргумента встречается сравнительно редко: обычно приходится учитывать совокупное влияние нескольких случайных факторов. Однако из методических соображений удобно начать с этого наиболее простого случая. Пусть имеется случайная величина  и известны ее числовые характеристики: математическое ожидание  и дисперсия .

Допустим, что практически возможные значения случайной величины  ограничены пределами , т. е.

.

Имеется другая случайная величина , связанная с  функциональной зависимостью:

,                  (11.2.1)

причем функция  хотя не является линейной, но мало отличается от линейной на участке .

Требуется найти числовые характеристики величины  - математическое ожидание  и дисперсию .

Рассмотрим кривую  на участке  (рис. 11.2.1) и заменим ее приближенно касательной, проведенной в точке  с абсциссой . Уравнение касательной имеет вид:

.             (11.2.2)

Рис. 11.2.1

Предположим, что интервал практически возможных значений аргумента  настолько узок, что в пределах этого интервала кривая и касательная различаются мало, так что участок кривой практически можно заменить участком касательной; короче, на участке  функция  почти линейна. Тогда случайные величины  и  приближенно связаны линейной зависимостью:

,

или, обозначая ,

.                      (11.2.3)

К линейной функции (11.2.3) можно применить известные приемы определения числовых характеристик линейных функций (см.  10.2). Математическое ожидание этой линейной функции найдем, подставляя в ее выражение (11.2.3) математическое ожидание аргумента , равное нулю. Получим:

.              (11.2.4)

Дисперсия величины  определится по формуле

.               (11.2.5)

Переходя к среднему квадратическому отклонению, имеем:

.                               (11.2.6)

Формулы (11.2.4), (11.2.5), (11.2.6), разумеется, являются приближенными, поскольку приближенной является и сама замена нелинейной функции линейной.

Таким образом, мы решили поставленную задачу и пришли к следующим выводам.

Чтобы найти математическое ожидание почти линейной функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его математическое ожидание. Чтобы найти дисперсию почти линейной функции, нужно дисперсию аргумента умножить на квадрат производной функции в точке, соответствующей математическому ожиданию аргумента.