15.9. Комплексные случайные функции
При практическом применении
математического аппарата теории случайных функций часто оказывается удобным
записывать как сами случайные функции, так и их характеристики не в
действительной, а в комплексной форме. В связи с этим необходимо дать,
определение комплексной случайной величины и комплексной случайной
функции.
Комплексной случайной величиной
называется случайная величина вида:
, (15.9.1)
где
-
действительные случайные величины; 
- мнимая единица.
Комплексную случайную величину
можно геометрически интерпретировать как случайную точку 
на плоскости 
(рис. 15.9.1).
Рис. 15.9.1.
Для того чтобы аппарат числовых
характеристик был применим и к комплексным случайным величинам, необходимо
обобщить основные понятия математического ожидания, дисперсии и корреляционного
момента на случай комплексных случайных величин. Очевидно, эти обобщения должны
быть сделаны так, чтобы в частном случае, когда 
и величина действительна, они сводились к обычным
определениям характеристик действительных случайных величин.
Математическим ожиданием комплексной
случайной величины называется
комплексное число
. (15.9.2)
Это
есть некоторое среднее значение величины или, геометрически, средняя точка 
, вокруг которой
происходит рассеивание случайной точки (рис. 15.9.1).
Дисперсией комплексной случайной
величины называется математическое ожидание квадрата модуля соответствующей
центрированной величины:
, (15.9.3)
где
.
Геометрически дисперсия
комплексной случайной величины есть не что иное, как среднее значение квадрата
расстояния от случайной точки до ее математического ожидания (рис. 15.9.1). Эта
величина характеризует разброс случайной точки около ее среднего положения.
Выразим дисперсию комплексной
случайной величины через дисперсии ее действительной и мнимой частей. Очевидно,
;
отсюда
или
, (15.9.4)
|т.
е. дисперсия комплексной случайной величины равна сумме дисперсий ее
действительной и мнимой частей.
Из самого определения дисперсии
следует, что дисперсия комплексной случайной величины всегда действительна и
существенно положительна. Обращаться в нуль она может только в случае, если величина
не случайна.
Данные выше определения
математического ожидания и дисперсии, очевидно, удовлетворяют поставленному
требованию: при и
они
превращаются в обычные определения математического ожидания и дисперсии
действительной случайной величины.
Попытаемся построить аналогичное
определение корреляционного момента двух комплексных случайных величин 
и 
:
;
. (15.9.5)
Это определение, очевидно, должно
быть построено так, чтобы при 
корреляционный момент обращался в
дисперсию величины .
Оказывается, этому требованию нельзя было бы удовлетворить, если бы мы, как в
случае действительных величин, назвали корреляционным моментом математическое
ожидание произведения 
. Нетрудно убедиться, что при математическое
ожидание такого произведения будет не действительным, а комплексным, т. е. уже
не дает дисперсии, которая, согласно определению, действительна и существенно
положительна. Этого не будет, если назвать корреляционным моментом
математическое ожидание произведения 
, не на самую величину 
, а на соответствующую ей комплексную
сопряженную величину:
. (15.9.6)
Тогда при корреляционный момент,
очевидно, обратится в дисперсию величины :
. (15.9.7)
Таким образом, целесообразно дать
следующее определение корреляционного момента двух комплексных случайных
величин и :
, (15.9.8)
где
чертой наверху обозначается комплексная сопряженная величина.
Выразим корреляционный момент
двух комплексных случайных величин через корреляционные моменты их
действительных и мнимых частей. Имеем:
.
(15.9.9)
где
-
соответственно корреляционные моменты величин 
.
Очевидно, в случае, когда все эти
величины между собой не коррелированы, корреляционный момент величин , также равен нулю.
Таким образом, определения
основных характеристик комплексных случайных величин отличаются от обычных
определений аналогичных характеристик для действительных величин только тем,
что:
1)
в качестве дисперсии рассматривается не математическое ожидание квадрата
центрированной случайной величины, а математическое ожидание квадрата ее
модуля;
2)
в качестве корреляционного момента рассматривается не математическое ожидание
произведения центрированных величин, а математическое ожидание произведения
одной центрированной величины на комплексную сопряженную другой.
Перейдем к определению
комплексной случайной функции и ее характеристик.
Комплексной случайной функцией
называется функция вида:
, (15.9.10)
где
, 
- действительные
случайные функции.
Математическое ожидание
комплексной случайной функции (15.9.10) равно:
. (15.9.11)
Дисперсия комплексной случайной
функции 
определяется
как математическое ожидание квадрата модуля соответствующей центрированной
функции:
, (15.9.12)
где
. (15.9.13)
Из определения (15.9.12) видно,
что дисперсия комплексной случайной функции действительна и неотрицательна.
Из формулы (15.9.4) следует, что
дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной
и мнимой частей:
. (15.9.14)
Корреляционная функция
комплексной случайной функции определяется как корреляционный момент ее сечений
и 
:
,
(15.9.15)
где
-
комплексная величина, сопряженная величине 
.
При 
корреляционная функция, очевидно,
обращается в дисперсию:
. (15.9.16)
Пользуясь формулой (15.9.9),
можно выразить корреляционную функцию комплексной случайной функции через
характеристики ее действительной и мнимой частей. Рассматривая в качестве
случайных величин и
,
фигурирующих в этой формуле, сечения случайной функции и 
, получим:
. (15.9.17)
где
- взаимная
корреляционная функция случайных функций и (действительной и мнимой частей случайной
функции ).
В случае, когда действительная и
мнимая части случайной функции не коррелированы (
), формула (15.9.17) имеет вид:
. (15.9.18)
В дальнейшем изложении мы будем
пользоваться как действительной, так и комплексной формой записи случайных
функций. В последнем случае мы будем всегда оговаривать это.
