7.2. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения

Предположим, что изучается некоторая случайная величина , закон распределения которой в точности неизвестен, и требуется определить этот закон из опыта или проверить экспериментально гипотезу о том, что величина  подчинена тому или иному закону. С этой целью над случайной величиной  производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов случайная величина  принимает определенное значение. Совокупность наблюденных значений величины и представляет собой первичный статистический материал, подлежащий обработке, осмыслению и научному анализу. Такая совокупность называется «простой статистической совокупностью» или «простым статистическим рядом». Обычно простая статистическая совокупность оформляется в виде таблицы с одним входом, в первом столбце которой стоит номер опыта , а во втором – наблюденное значение случайной величины.

Пример 1. Случайная величина  - угол скольжения самолета в момент сбрасывания бомбы (под углом скольжения подразумевается угол, составленный вектором скорости и плоскостью симметрии самолета). Произведено 20 бомбометаний, в каждом из которых зарегистрирован угол скольжения  в тысячных долях радиана. Результаты наблюдений сведены в простой статистический ряд:

Простой статистический ряд представляет собой первичную форму записи статистического материала и может быть обработан различными способами. Одним из способов такой обработки является построение статистической функции распределения случайной величины.

Статистической функцией распределения случайной величины  называется частота события  в данном статистическом материале:

.                                                                   (7.2.1)

Для того чтобы найти значение статистической функции распределения при данном , достаточно подсчитать число опытов, в которых величина  приняла значение, меньшее чем , и разделить на общее число  произведенных опытов.

Пример 2. Построить статистическую функцию распределения для случайной величины , рассмотренной в предыдущем примере.

Решение. Так как наименьше наблюденное значение величины равно , то . Значение  наблюдено один раз, его частота равна ; следовательно, в точке   имеет скачок, равный . В промежутке от  до  функция  имеет значение ;  в точке  происходит скачок функции  на , так как значение  наблюдено дважды и т.д.

График статистической функции распределения величины представлен на рис.7.2.1.

Рис. 7.2.1

Статистическая функция распределения любой случайной величины - прерывной или непрерывной - представляет собой прерывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной величины  было наблюдено только один раз, скачок статистической функции распределения в каждом наблюденном значении равен , где  - число наблюдений.

При увеличении числа опытов , согласно теореме Бернулли, при любом  частота события  приближается (сходится по вероятности) к вероятности этого события. Следовательно, при увеличении  статистическая  функция распределения  приближается (сходится по вероятности) к подлинной функции распределения  случайной величины .

Если  - непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений  число скачков функции  увеличивается, самые скачки уменьшаются и график функции  неограниченно приближается к плавной кривой  - функции распределения величины .

В принципе построение статистической функции распределения уже решает задачу описания экспериментального материала. Однако при большом числе опытов  построение  описанным выше способом весьма трудоемко. Кроме того, часто бывает удобно - в смысле наглядности - пользоваться другими характеристиками статистических распределений, аналогичными не функции распределения , а плотности . С такими способами описания статистических данных мы познакомимся в следующем параграфе.