ГЛАВА 5 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

5.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения

В разделе курса, посвященном основным понятиям теории вероятностей, мы уже ввели в рассмотрение чрезвычайно важное понятие случайной величины. Здесь мы дадим дальнейшее развитие этого понятия и укажем способы, с помощью которых случайные величины могут быть описаны и характеризованы.

Как уже было сказано, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее – какое именно. Мы условились также различать случайные величины прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения прерывных величин могут быть заранее перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Примеры прерывных случайных величин:

1) число появлений герба при трех бросаниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3);

2) частота появления герба в том же опыте (возможные значения );

3) число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов (возможнее значения 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) число попаданий в самолет, достаточное для вывода его из строя (возможные значения 1, 2, 3, …, n, …);

5) число самолетов, сбитых в воздушном бою (возможные значения 0, 1, 2, …, N,  где  – общее число самолетов, участвующих в бою).

Примеры непрерывных случайных величин:

1) абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле;

2) расстояние от точки попадания до центра мишени;

3) ошибка измерителя высоты;

4) время безотказной работы радиолампы.

Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, – число попаданий при трех выстрелах; возможные значения: .

Рассмотрим прерывную случайную величину  с возможными значениями . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, т.е. произойдет одно из полной группы несовместных событий:

         (5.1.1)

Обозначим вероятности этих событий буквами p с соответствующими индексами:

Так как несовместные события (5.1.1) образуют полную группу, то

,

т.е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий (5.1.1). Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.

Установим форму, в которой может быть задан закон распределения прерывной случайной величины . Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины .

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения (рис. 5.1.1). Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения.

Рис. 5.1.1.

Иногда удобной оказывается так называемая «механическая» интерпретация ряда распределения. Представим себе, что некоторая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в  отдельных точках  сосредоточены соответственно массы . Тогда ряд распределения интерпретируется как система материальных точек с какими-то массами, расположенных на оси абсцисс.

Рассмотрим несколько примеров прерывных случайных величин с их законами распределения.

Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие . Вероятность события  равна 0,3. Рассматривается случайная величина  – число появлений события  в данном опыте (т.е. характеристическая случайная величина события , принимающая значение 1, если оно появится, и 0, если не появится). Построить ряд распределения и многоугольник распределения величины .

Решение. Величина  имеет всего два значения: 0 и 1. Ряд распределения величины  имеет вид:

Многоугольник распределения изображен на рис. 5.1.2.

Рис. 5.1.2.

Пример 2. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков.

Решение. Обозначим  число выбитых очков. Возможные значения величины : .

Вероятность этих значений находим по теореме о повторении опытов:

Ряд распределения величины  имеет вид:

Многоугольник распределения изображен на рис. 5.1.3.

Рис. 5.1.3.

Пример 3. Вероятность появления события   в одном опыте равна . Производится ряд независимых опытов, которые продолжаются до первого появления события , после чего опыты прекращаются. Случайная величина  – число произведенных опытов. Построить ряд распределения величины .

Решение. Возможные значения величины : 1, 2, 3, … (теоретически они ничем не ограничены). Для того, чтобы величина  приняла значение 1, необходимо, чтобы событие  произошло в первом же опыте; вероятность этого равна . Для того, чтобы величина  приняла значение 2, нужно, чтобы в первом опыте событие  не появилось, а во втором – появилось; вероятность этого равна , где , и т.д. Ряд распределения величины  имеет вид:

Первые пять ординат многоугольника распределения для случая показаны на рис. 5.1.4.

Рис. 5.1.4.

Пример 4. Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

Решение. Случайная величина  – число неизрасходованных патронов – имеет четыре возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятности этих значений равны соответственно:

Ряд распределения величины  имеет вид:

Многоугольник распределения показан на рис. 5.1.5.

Рис. 5.1.5.

Пример 5. Техническое устройство может применяться в различных условиях и в зависимости от этого время от времени требует регулировки. При однократном применении устройства оно может случайным образом попасть в благоприятный или неблагоприятный режим. В благоприятном режиме устройство выдерживает три применения без регулировки; перед четвертым его приходится регулировать. В неблагоприятном режиме устройство приходится регулировать после первого же применения. Вероятность того, что устройство попадет в благоприятный режим, - 0,7, что в неблагоприятный, - 0,3. Рассматривается случайная величина  – число применений устройства до регулировки. Построить её ряд распределения.

Решение. Случайная величина  имеет три возможных значения: 1, 2 и 3. вероятность того, что , равна вероятности того, что при первом же применении устройство попадет в неблагоприятный режим, т.е. . Для того, чтобы величина  приняла значение 2, нужно, чтобы при первом применении устройство попало в благоприятный режим, а при втором – в неблагоприятный; вероятность этого . Чтобы величина  приняла значение 3, нужно, чтобы два первых раза устройство попало в благоприятный режим (после третьего раза его все равно придется регулировать). Вероятность этого равна .

Ряд распределения величины  имеет вид:

Многоугольник распределения показан на рис. 5.1.6.

Рис. 5.1.6.