11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов

Имеется система  случайных величин:

и заданы числовые характеристики системы: математические ожидания

и корреляционная матрица

.

Случайная величина  есть функция аргументов :

,                       (11.3.1)

причем функция  не линейна, но мало отличается от линейной в области практически возможных значений всех аргументов (короче, «почти линейная» функция). Требуется приближенно найти числовые характеристики величины  - математическое ожидание  и дисперсию .

Для решения задачи подвергнем линеаризации функцию

.               (11.3.2)

В данном случае нет смысла пользоваться геометрической интерпретацией, так как за пределами трехмерного пространства она уже не обладает преимуществами наглядности. Однако качественная сторона вопроса остается совершенно той же, что и в предыдущем .

Рассмотрим функцию  в достаточно малой окрестности точки . Так как функция в этой окрестности почти линейна, ее можно приближенно заменить линейной. Это равносильно тому, чтобы в разложении функции в ряд Тейлора около точки  сохранить только члены первого порядка, а все высшие отбросить:

.

Значит, и зависимость (11.3.1) между случайными величинами можно приближенно заменить линейной зависимостью:

.                       (11.3.3)

Введем для краткости обозначение:

.

Учитывая, что , перепишем формулу (11.3.3) в виде:

                  (11.3.4)

К линейной функции (11.3.4) применим способы определения числовых характеристик линейных функций, выведенные в  10.2. Имея в виду, что центрированные аргументы  имеют математические ожидания, равные нулю, и ту же корреляционную матрицу , получим:

,                 (11.3.5)

                  (11.3.6)

Переходя в последней формуле от дисперсий к средним квадратическим отклонениям, получим:

,                     (11.3.7)

где  - коэффициент корреляции величин .

Особенно простой вид принимает формула (11.3.7), когда величины  не коррелированы, т. е.  при .

В этом случае

.

Формулы типа (11.3.7) и (11.3.8) находят широкое применение в различных прикладных вопросах: при исследовании ошибок разного вида приборов и механизмов, а также при анализе точности стрельбы и бомбометания.

Пример 1. Относ бомбы  (рис. 11.3.1) выражается приближенной аналитической формулой:

,                      (11.3.9)

где  - скорость самолета (м/сек),  - высота сбрасывания (м),  - баллистический коэффициент.

Рис. 11.3.1

Высота  определяется по высотомеру, скорость самолета  - по указателю скорости, баллистический коэффициент  принимается его номинальным значением . Высотомер показывает 4000 м, указатель скорости 150 м/сек. Показания высотомера характеризуются систематической ошибкой +50 м и средним квадратическим отклонением  м; показания указателя скорости - систематической ошибкой - 2 м/сек и средним квадратическим отклонением 1 м/сек; разброс возможных значений баллистического коэффициента , обусловленный неточностью изготовления бомбы, характеризуется средним квадратическим отклонением . Ошибки приборов независимы между собой.

Найти систематическую ошибку и среднее квадратическое отклонение точки падения бомбы вследствие неточности в определении параметров ,  и . Определить, какой из этих факторов оказывает наибольшее влияние на разброс точки падения бомбы.

Решение. Величины ,  и  представляют собой некоррелированные случайные величины с числовыми характеристиками:

 м;  м;

 м/сек;  м/сек;

;      .

Так как диапазон возможных изменений случайных аргументов сравнительно невелик, для решения задачи можно применить метод линеаризации.

Подставляя в формулу (11.3.9) вместо величин ,  и  их математические ожидания, найдем математическое ожидание величины :

(м).

Для сравнения вычислим номинальное значение:

(м).

Разность между математическим ожиданием и номинальным значением представляет собой систематическую ошибку точки падения:

(м).

Для определения дисперсии величины  вычислим частные производные:

,

,

и подставим в эти выражения вместо каждого аргумента его математическое ожидание:

; ; .

По формуле (11.3.8) вычислим среднее квадратическое отклонение величины :

,

откуда

(м).

Сравнивая слагаемые, образующие , приходим к заключению, что наибольшее из них (697,0) обусловлено наличием ошибок в скорости ; следовательно, в данных условиях из рассмотренных случайных факторов, обусловливающих разброс точки падения бомбы, наиболее существенной является ошибка указателя скорости.

Пример 2. Абсцисса точки попадания (в метрах) при стрельбе по самолету выражается формулой

,                      (11.3.10)

где  - ошибка наводки (м),  - угловая скорость цели (рад/сек),  - дальность стрельбы (м),  - ошибка, связанная с баллистикой снаряда (м).

Величины  представляют собой случайные величины с математическими ожиданиями:

; ; ;

и средними квадратнческими отклонениями:

; ; ; .

Нормированная корреляционная матрица системы () (т. е. матрица, составленная из коэффициентов корреляции) имеет вид:

.

Требуется найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины .

Решение. Подставляя в формулу (11.3.10) математические ожидания аргументов, имеем:

(м).

Для определения среднего квадратического отклонения величины  найдем частные производные:

; ;

; .

Применяя формулу (11.3.7), имеем:

,

откуда

(м).