17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий

На двух примерах, приведенных в предыдущем , мы наглядно убедились в том, что существует связь между характером корреляционной функции и внутренней структурой соответствующего ей случайного процесса. В зависимости от того, какие частоты и в каких соотношениях преобладают в составе случайной функции, ее корреляционная функция имеет тот или другой вид. Из таких соображений мы непосредственно приходим к понятию о спектральном составе случайной функции.

Понятие «спектра» встречается не только в теории случайных функций; оно широко применяется в математике, физике и технике.

Если какой-либо колебательный процесс представляется в виде суммы гармонических колебаний различных частот (так называемых «гармоник»), то спектром колебательного процесса называется функция, описывающая распределение амплитуд по различным частотам. Спектр показывает, какого рода колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура.

Совершенно аналогичное спектральное описание можно дать и стационарному случайному процессу; вся разница в том, что для случайного процесса амплитуды колебаний будут случайными величинами. Спектр стационарной случайной функции будет описывать распределение дисперсий по различным частотам.

Подойдем к понятию о спектре стационарной случайной функции из следующих соображений.

Рассмотрим стационарную случайную функцию , которую мы наблюдаем на интервале  (рис. 17.2.1).

Рис. 17.2.1.

Задана корреляционная функция случайной функции

.

Функция  есть четная функция:

и, следовательно, на графике изобразится симметричной кривой (рис. 17.2.2).

Рис. 17.2.2.

При изменении  и  от  до  аргумент  изменяется от  до .

Мы знаем, что четную функцию на интервале  можно разложить в ряд Фурье, пользуясь только четными (косинусными) гармониками:

,                     (17.2.1)

где

;  ,      (17.2.2)

а коэффициенты  определяются формулами:

               (17.2.3)

Имея в виду, что функции  и  четные, можно преобразовать формулы (17.2.3) к виду:

                (17.2.4)

Перейдем в выражении (17.2.1) корреляционной функции  от аргумента  снова к двум аргументам  и . Для этого положим

  (17.2.5)

и подставим выражение (17.2.5) в формулу (17.2.1):

.                  (17.2.6)

Мы видим, что выражение (17.2.6) есть не что иное, как каноническое разложение корреляционной функции . Координатными функциями этого канонического разложения являются попеременно косинусы и синусы частот, кратных :

          .

Мы знаем, что по каноническому разложению корреляционной функции можно построить каноническое разложение самой случайной функции с теми же координатными функциями и с дисперсиями, равными коэффициентам  в каноническом разложении корреляционной функции.

Следовательно, случайная функция  может быть представлена в виде канонического разложения:

,             (17.2.7)

где  - некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, одинаковыми для каждой пары случайных величин с одним и тем же индексом :

.            (17.2.8)

Дисперсии  при различных  определяются формулами (17.2.4).

Таким образом, мы получили на интервале  каноническое разложение случайной функции , координатными функциями которого являются функции ,  при различных . Разложение такого рода называется спектральным разложением стационарной случайной функции. На представлении случайных функций в виде спектральных разложений основана так называемая спектральная теория стационарных случайных процессов.

Спектральное разложение изображает стационарную случайную функцию разложенной на гармонические колебания различных частот:

причем амплитуды этих колебаний являются случайными величинами.

Определим дисперсию случайной функции , заданной спектральным разложением (17.2.7). По теореме о дисперсии линейной функции некоррелированных случайных величин

.        (17.2.9)

Таким образом, дисперсия стационарной случайной функции равна сумме дисперсий всех гармоник ее спектрального разложения. Формула (17.2.9) показывает, что дисперсия функции  известным образом распределена по различным частотам: одним частотам соответствуют большие дисперсии, другим - меньшие. Распределение дисперсий по частотам можно проиллюстрировать графически в виде так называемого спектра стационарной случайной функции (точнее - спектра дисперсий). Для этого по оси абсцисс откладываются частоты , а по оси ординат - соответствующие дисперсии (рис. 17.2.3).

Рис. 17.2.3.

Очевидно, сумма всех ординат построенного таким образом спектра равна дисперсии случайной функции.