9.6. Нормальный закон в пространстве трех измерений. Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величин
При исследования
вопросов, связанных со стрельбой дистанционными снарядами, приходится иметь
дело с законом распределения точек разрыва дистанционного снаряда в
пространстве. При условии применения обычных дистанционных взрывателей этот
закон распределения может считаться нормальным.
В данном 
мы рассмотрим лишь
каноническую форму нормального закона в пространстве:
, (9.6.1)
где 
- главные средние квадратические
отклонения.
Переходя от
средних квадратических отклонений к вероятным, имеем:
. (9.6.2)
При решении
задач, связанных со стрельбой дистанционными снарядами, иногда приходится
вычислять вероятность разрыва дистанционного снаряда в пределах заданной области
. В общем
случае эта вероятность выряжается тройным интегралом:
. (9.6.3)
Интеграл (9.6.3)
обычно не выражается через элементарные функции. Однако существует ряд
областей, вероятность попадания в которые вычисляется сравнительно просто.
1. Вероятность
попадания в прямоугольный параллелепипед со сторонами, параллельными главным
осям рассеивания
Пусть область 
представляет собой
прямоугольный параллелепипед, ограниченный абсциссами 
ординатами 
и аппликатами 
(рис. 9.6.1).
Вероятность попадания в область , очевидно, равна:
. (9.6.4)
Рис. 9.6.1
2. Вероятность
попадания в эллипсоид равной плотности
Рассмотрим
эллипсоид равной плотности 
, уравнение которого
.
Полуоси этого
эллипсоида пропорциональны главным средним квадратическим отклонениям:
.
Пользуясь
формулой (9.6.1) для 
,
выразим вероятность попадания в эллипсоид :
.
Перейдем от
декартовых координат к полярным (сферическим) заменой переменных
(9.6.5)
Якобиан
преобразования (9.6.5) равен:
.
Переходя к новым
переменным, имеем:
.
Интегрируя по
частям, получим:
. (9.6.6)
3. Вероятность
попадания в цилиндрическую область с образующей, параллельной одной из главных
осей рассеивания
Рассмотрим цилиндрическую
облает 
,
образующая которой параллельна одной из главных осей рассеивания (например, оси
), а
направляющая есть контур произвольной области на плоскости 
(рис. 9.6.2). Пусть область ограничена двумя
плоскостями 
и
. Вычислим
вероятность попадания в область ; это есть вероятность произведения двух
событий, первое из которых состоит в попадании точки 
в область , а второе — в попадании
величины 
на
участок 
. Так
как величины 
,
подчинены нормальному закону в канонической форме, независимы, то независимы и
эти два события. Поэтому
(9.6.7)
Рис. 9.6.2.
Вероятность 
в формуле (9.6.7)
может быть вычислена любым
из способов вычисления вероятности попадания в плоскую область.
На формуле
(9.6.7) основан следующий способ вычисления вероятности попадания в
пространственную область 
произвольной формы: область приближенно
разбивается на ряд цилиндрических областей 
(рис. 9.6.3), и вероятность попадания в
каждую из них вычисляется по формуле (9.6.7). Для применения этого способа
достаточно начертить ряд фигур, представляющих собой сечения области плоскостями,
параллельными одной из координатных плоскостей. Вероятность попадания в каждую
из них вычисляется по сетке рассеивания.
Рис. 9.6.3.
В заключение
данной главы напишем общее для нормального закона в пространстве любого числа
измерения 
.
Плотность распределения такого закона имеет вид:
, (9.6.8)
где 
— определитель матрицы 
— матрица, обратная
корреляционной матрице 
, т.е. если корреляционная матрица
,
то
,
где 
- определитель корреляционной матрицы, а 
- минор этого
определителя, получаемый из него вычеркиванием 
-й строки и 
-го столбца. Заметим, что
.
Из общего
выражения (9.6.8) вытекают все формы нормального закона для любого числа
измерений и для любых видов зависимости между случайными величинами. В
частности, при 
(рассеивание
на плоскости) корреляционная матрица есть
.
где 
- коэффициент корреляции. Отсюда
.
Подставляя
определитель матрицы и
ее члены в (9.6.8), получим формулу (9.1.1) для нормального закона на
плоскости, с которой мы начали 
9.1.
