19.11. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди
В предыдущем 
мы рассмотрели систему
массового обслуживания с ограничением по времени пребывания в очереди. Здесь мы
рассмотрим систему смешанного типа с другим видом ограничения ожидания - по
числу заявок, стоящих в очереди. Предположим, что заявка, заставшая все каналы
занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее 
заявок; если же число
заявок в очереди равно (больше оно быть не может), то последняя
прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему необслуженной.
Остальные допущения - о простейшем потоке заявок и о показательном
распределении времени обслуживания - оставим прежними.
Итак, имеется 
-канальная система с ожиданием,
в которой количество заявок, стоящих в очереди, ограничено числом . Составим
дифференциальные уравнения для вероятностей состояний системы. Заметим, что в
данном случае число состояний системы будет конечно, так как общее число
заявок, связанных с системой, не может превышать 
( обслуживаемых и стоящих в очереди). Перечислим
состояния системы:
-
все каналы свободны, очереди нет,
-
занят один канал, очереди нет,
………
-
занято 
каналов,
очереди нет,
………
-
занято 
каналов,
очереди нет,
-
заняты все каналов,
очереди нет,
-
заняты все каналов,
одна заявка стоит в очереди,
………
-
заняты все каналов,
заявок
стоит в очереди.
Очевидно, первые уравнений для
вероятностей 
будут
совпадать с уравнениями Эрланга (19.8.8). Выведем остальные уравнения. Имеем
,
откуда
.
Далее
выведем уравнение для 
,
откуда
.
Последнее
уравнение будет
.
Таким образом, получена система 
дифференциальных
уравнений:
(19.11.1)
Рассмотрим предельный случай при 
. Приравнивая все
производные нулю, а все вероятности считая постоянными, получим систему
алгебраических уравнений
(19.11.2)
и
добавочное условие:
. (19.11.3)
Уравнения (19.11.2) могут быть
решены так же, как мы решили аналогичные алгебраические уравнения в предыдущих 
. Не останавливаясь на
этом решении, приведем только окончательные формулы:
, (19.11.4)
. (19.11.5)
Вероятность того, что заявка
покинет систему необслуженной, равна вероятности 
того, что в очереди уже стоят заявок.
Нетрудно заметить, что формулы
(19.11.4) и (19.11.5) получаются из формул (19.10.11), (19.10.12), если
положить в них 
и
ограничить суммирование по 
верхней границей .
Пример. На станцию текущего
ремонта автомашин поступает простейший поток заявок с плотностью 
(машины в час).
Имеется одно помещение для ремонта. Во дворе станции могут одновременно
находиться, ожидая очереди, не более трех машин. Среднее время ремонта одной
машины 
(часа).
Определить: а) пропускную способность системы; б) среднее время простоя
станции; в) определить, насколько изменятся эти характеристики, если
оборудовать второе помещение для ремонта.
Решение. Имеем: , 
, 
, 
.
а) По формуле (19.11.5), полагая 
, находим вероятность
того, что пришедшая заявка покинет систему необслуженной:
.
Относительная
пропускная способность системы 
. Абсолютная пропускная способность: 
(машины в час).
б) Средняя доля времени, которое
система будет простаивать, найдем по формуле (19.11.4): 
.
в) Полагая 
, найдем:
,
(т.
е. удовлетворяться будет около 98% всех заявок).
(машины
в час).
Относительное время простоя: 
, т. е. оборудование
будет простаивать полностью около 34% всего времени.
