16.2. Каноническое разложение случайной функции
Рассмотрим случайную функцию 
, заданную разложением
, (16.2.1)
где
коэффициенты 
представляют
собой систему случайных величин с математическими ожиданиями, равными нулю и с
корреляционной матрицей 
.
Найдем корреляционную функцию и
дисперсию случайной функции .
По определению
, (16.2.2)
где
, (16.2.3)
. (16.2.4)
В формуле (16.2.4) индекс суммирования
обозначен буквой 
,
чтобы подчеркнуть его независимость от индекса суммирования 
в формуле (16.2.3).
Перемножая выражения (16.2.3) и
(16.2.4) и применяя к произведению операцию математического ожидания, получим:
, (16.2.5)
где
суммирование распространяется на все пары значений 
- как равные, так и неравные. В
случае, когда 
,
,
где
- дисперсия
случайной величины 
.
В случае, когда 
,
,
где
- корреляционный
момент случайных величин 
.
Подставляя эти значения в формулу
(16.2.5), получим выражение для корреляционной функции случайной функции , заданной разложением
(16.2.1):
. (16.2.6)
Полагая в выражении (16.2.6) 
получим дисперсию
случайной функции :
.
(16.2.7)
Очевидно, выражения (16.2.6) и
(16.2.7) приобретают особенно простой вид, когда все коэффициенты разложения (16.2.1)
некоррелированны, т. е. 
при
. В
этом случае разложение случайной функции называется «каноническим».
Таким образом, каноническим
разложением случайной функции называется ее представление в виде:
, (16.2.8)
где
-
математическое ожидание случайной функции; 
- координатные функции, а - некоррелированные
случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю.
Если задано каноническое
разложение случайной функции, то ее корреляционная функция 
выражается весьма просто. Полагая
в формуле (16.2.6) при , получим:
. (16.2.9)
Выражение (16.2.9) называется каноническим
разложением корреляционной функции.
Полагая в формуле (16.2.9) получим дисперсию
случайной функции
(16.2.10).
Таким образом, зная каноническое
разложение случайной функции , можно сразу найти каноническое
разложение ее корреляционной функции. Можно доказать, что обратное положение
тоже справедливо, а именно: если задано каноническое разложение корреляционной
функции (16.2.9), то для случайной функции справедливо каноническое разложение вида
(16.2.8) с координатными функциями 
и коэффициентами с дисперсиями . Мы примем это
положение без специального доказательства.
Число членов канонического
разложения случайной функции может быть не только конечным, но и бесконечным.
Примеры канонических разложений с бесконечным числом членов встретятся нам в
главе 17. Кроме того, в ряде случаев применяются так называемые интегральные
канонические представления случайных функций, в которых сумма заменяется
интегралом.
Канонические разложения
применяются не только для действительных, но и для комплексных случайных
функций. Рассмотрим обобщение понятия канонического разложения на случай комплексной
случайной функции.
Элементарной комплексной
случайной функцией называется функция вида:
, (16.2.11)
где
как случайная величина 
, так и функция 
комплексны.
Определим корреляционную функцию
элементарной случайной функции (16.2.11). Пользуясь общим определением
корреляционной функции комплексной случайной функции, имеем:
, (16.2.12)
где
чертой вверху, как и ранее, обозначена комплексная сопряженная величина. Имея в
виду, что
,
и
вынося неслучайные величины и 
за знак математического ожидания,
получим:
.
Но, согласно 
15.9, 
есть
не что иное, как дисперсия комплексной случайной величины :
,
следовательно,
. (16.2.13)
Каноническим разложением
комплексной случайной функции называется ее представление в виде:
, (16.2.14)
где
-
некоррелированные комплексные случайные величины с математическими ожиданиями,
равными нулю, а ,
-
комплексные неслучайные функции.
Если комплексная случайная
функция представлена каноническим разложением (16.2.14), то ее корреляционная
функция выражается формулой
, (16.2.15)
где
- дисперсия
величины :
. (16.2.16)
Формула (16.2.15) непосредственно
следует из выражения (16.2.13) для корреляционной функции элементарной
комплексной случайной функции.
Выражение (16.2.15) называется каноническим
разложением корреляционной функции комплексной случайной функции.
Полагая в (16.2.15) , получим выражение для
дисперсии комплексной случайной функции, заданной разложением (16.2.14):
. (16.2.17)
