14.7. Обработка стрельб
Одной из важных практических
задач, возникающих при изучении вопросов стрельбы и бомбометания, является
задача обработки результатов экспериментальных стрельб (бомбометаний).
Здесь мы будем различать два
случая: стрельбу ударными снарядами и стрельбу дистанционными снарядами.
При стрельбе ударными снарядами
рассеивание характеризуется законом распределения системы двух случайных
величин: абсциссы и ординаты точки попадания на некоторой плоскости (реальной
или воображаемой). При стрельбе дистанционными снарядами рассеивание носит
пространственный характер и описывается законом распределения системы трех
координат точки разрыва снаряда.
Рассмотрим сначала задачу
обработки стрельб ударными снарядами. Пусть произведено 
независимых выстрелов по
некоторой плоской мишени и зарегистрированы координаты точек попадания (рис. 14.7.1):
.
Рис. 14.7.1.
Предполагая, что закон
распределения системы 
нормальный, требуется найти оценки для
его параметров: координат центра рассеивания 
, 
, угла 
, определяющего направление главных осей
рассеивания 
,
и главных
с.к.о. 
, 
.
Начнем с рассмотрения самого
простого случая, когда направление главных осей рассеивания известно заранее.
Этот случай часто встречается на практике, так как обычно направление главных
осей рассеивания определяется самими условиями стрельбы (например, при
бомбометании - направление полета и перпендикулярное к нему; при воздушной
стрельбе - направление поперечной скорости цели и перпендикулярное к нему и т.
д.). В этом случае задача обработки стрельб сильно упрощается. Зная заранее
хотя бы ориентировочно направление главных осей, можно выбрать координатные оси
параллельно им; в такой системе координат абсцисса и ордината точки попадания
представляют собой независимые случайные величины, и их закон распределения
определяется всего четырьмя параметрами: координатами центра рассеивания и
главными средними квадратическими отклонениями 
, 
. Оценки для этих параметров определяются
формулами
(14.7.1)
Рассмотрим более сложный случай,
когда направление главных осей рассеивания заранее неизвестно и тоже должно
быть определено из опыта. В этом случае определению подлежат оценки всех пяти
параметров: координат центра рассеивания , , угла и главных средних
квадратических отклонений , (рис. 14.7.2).
Рис. 14.7.2.
Оценки для координат центра
рассеивания в этом случае определяются так же, как в предыдущем случае, по
формулам
;
. (14.7.2)
Перейдем к оценке угла . Предположим, что
направления главных осей рассеивания известны, и проведем через точку 
главные оси 
, 
(рис. 14.7.2). В системе 
координаты случайной
точки будут:
или
(14.7.3)
Очевидно, величины 
будут иметь
математические ожидания, равные нулю:
.
Так как оси , - главные оси рассеивания, величины независимы. Но для
величин, подчиненных нормальному закону, независимость эквивалентна некоррелированности;
следовательно, нам достаточно найти такое значение угла , при котором величины не коррелированы. Это
значение и определит направление главных осей рассеивания.
Вычислим корреляционный момент
величин 
.
Перемножая равенства (14.7.3) и применяя к их произведению операцию
математического ожидания, получим:
.
Приравнивая это выражение нулю и
деля обе части на 
,
имеем:
. (14.7.4)
Уравнение (14.7.4) даст два
значения угла :
и 
, различающиеся на 
. Эти два угла и
определяют направления главных осей рассеивания.
Заменяя в равенстве (14.7.4) 
, 
, 
их оценками, получим оценку для угла :
.
Найдем оценки для главных средних
квадратических отклонений , . Для этого найдем дисперсии величин , заданных формулами
(14.7.3), по теореме о дисперсии линейной функции:
;
,
откуда
находим оценки для главных дисперсий:
(14.7.5)
Оценки для главных средних
квадратических отклонений выразятся формулами:
(14.7.6)
Выпишем отдельно полную сводку
формул для обработки стрельб по плоской мишени в случае, когда направление
главных осей рассеивания заранее неизвестно. Оценки искомых параметров
определяются формулами:
(14.7.7)
где
(14.7.8)
В заключение следует заметить,
что обработку стрельб по полным формулам (14.7.7) имеет смысл предпринимать
только тогда, когда число опытов достаточно велико (порядка многих десятков;
только в этом случае угол может быть оценен с достаточном
точностью. При малом числе наблюдений значение 
, полученное обработкой, является в
значительной мере случайным.
Задачу обработки стрельб дистанционными
снарядами мы здесь рассмотрим только в простейшем случае, когда направление
главных осей рассеивания (хотя бы ориентировочно) известно заранее. Как
правило, встречающиеся в практике стрельбы дистанционными снарядами задачи
обработки опытов относятся к этому типу. Тогда можно выбрать координатные оси
параллельно главным осям рассеивания и рассматривать три координаты точки
разрыва снаряда как независимые случайные величины.
Пусть в результате независимых выстрелов
зарегистрированы координаты точек разрыва дистанционных снарядов
в
системе координат с осями, параллельными главным осям рассеивания. Оценки для
параметров нормального закона определятся формулами:
(14.7.9)
На решении задачи обработки
стрельб дистанционными снарядами в случае, когда направления главных осей
рассеивания заранее неизвестны, мы останавливаться не будем, так как на
практике эта задача встречается сравнительно редко.
