§ 2. Скалярное произведение векторов; угол между двумя векторами

1. Угол между двумя векторами. Пусть (в пространстве или на плоскости с выбранным раз навсегда единым масштабом) даны два вектора и , отличные от нулевого. Прилагая их к какой-нибудь точке О пространства так, что (рис. 46), получаем угол (в самом элементарном смысле слова) между этими векторами (или несущими их полупрямыми, исходящими из точки О).

Обозначим этот угол через он лежит в плоскости, несущей прямые ОА и ОB, и по величине заключен между 0 и я. Считая, что каждый из векторов задает положительное направление на несущей его прямой, мы каждую из этих прямых превращаем в ось и, следовательно, можем говорить об алгебраическом значении (прямоугольной проекции каждого вектора на ось, несущую другой вектор:

Эти алгебраические значения положительны, если угол острый (рис. 47, а); они отрицательны, если угол тупой (рис. 47, б),

и равны нулю, если .

Из подобия прямоугольных треугольников и заключаем, что т. е.

Рис. 46.

Так как, кроме того, и азпри имеют один и тот же знак (положительный, если угол острый, отрицательный, если этот угол тупой), то

Рис. 47.

Каждое из этих отношений может быть принято за определение косинуса угла между векторами и :

Как видно из рис. 47, это определение совпадает с определением, известным из тригонометрии.

Из формулы (1) вытекает:

значение проекции одного вектора на ось, определенную другим, равно длине проектируемого вектора, умноженной на косинус угла между двумя векторами.

2. Направляющие — какой-нибудь ненулевой вектор, — углы между этим вектором и ортами координатных осей (рис. 48). Тогда называются направляющими косинусами вектора .

Так как , то в силу формулы (2) имеем:

В частности, если есть орт,

— координаты орта равны его направляющим косинусам. Далее из (3) получаем

откуда, сокращая на , имеем

— сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна 1.

Пусть даны произвольные три числа , удовлетворяющие равенству

Отложим на осях координат векторы , алгебраические значения которых соответственно равны числам , и построим на этих векторах (прямоугольный) параллелепипед (рис. 49).

Исходящая из точки О диагональ ОС этого параллелепипеда имеет длину, равную и является ортом с координатами .

Рис. 48.

Итак, любая тройка чисел , удовлетворяющая уравнению (4), является тройкой координат («направляющих косинусов») некоторого орта в пространстве.

3. Скалярное произведение двух векторов. Введем теперь следующее фундаментальное определение: скалярным произведением двух векторов называется число (), равное произведению длин, этих векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор полагается равным нулю.

Из этого определения сразу вытекают следующие свойства скалярного произведения:

— свойство переместительности.

тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны между собою.

Далее, если , то . Итак,

— скалярное произведение вектора на самого себя («скалярный квадрат вектора») равно квадрату его длины; скалярный квадрат равен нулю для нулевого вектора и положителен для всякого вектора, отличного от нулевого.

Рис. 49.

Подставляя значение из (1) в (5), получаем

произведение двух векторов равно произведению длины одного из них на алгебраическое значение проекции другого вектора на ось, несущую первый.

В частности, для любого вектора и координатных ортов имеем и т. д., т. е.

— координаты любого вектора в прямоугольной системе координат равны скалярным произведениям этого вектора на орты осей координат.

Из равенства IV вытекает: каково бы ни было вещественное число X, имеем

т. е.

— числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

Из того же равенства IV вытекает далее:

т. е.

— свойство дистрибутивности относительно сложения.

Из и VII следует, что скалярное произведение двух линейных комбинаций векторов можно вычислить по правилу умножения многочленов, например:

4. Выражение скалярного произведения и угла между двумя векторами через координаты этих векторов. Пусть (на плоскости)

Это значит, что

Тогда в силу V — VII имеем

Но векторы суть взаимно перпендикулярные орты, так что значит,

В пространстве для

получаем (совершенно так же)

Эти формулы очень важны и имеют многочисленные применения. В частности, они позволяют определить угол между двумя векторами их по координатам этих векторов: для этого достаточно переписать формулу (5) в виде

и подставить в нее значение длины векторов и их скалярного произведения (7). Получаем

(корни в знаменателе берутся положительные).

Легко получить также формулу, дающую алгебраическое значение проекции произвольного вектора на ось с направляющими косинусами . Для этого переписываем формулу (5) в виде

т. е. в виде

Если , то мы получаем

Эта формула очень удобна в применениях.