§ 15. Ортогональные и изогональные траектории

Пусть имеем однопараметрическое семейство кривых

Линии, пересекающие все кривые данного семейства (1) под постоянным углом, называются изогональными траекториями. Если этот угол прямой, то траектории называются ортогональными траекториями.

Ортогональные траектории. Найдем уравнение ортогональных траекторий. Напишем дифференциальное уравнение данного семейства кривых, исключая параметр С из уравнений

и

Пусть это дифференциальное уравнение будет

Здесь есть угловой коэффициент касательной к кривой семейства в точке Так как ортогональная траектория, проходящая через точку перпендикулярна к соответствующей кривой семейства, то угловой коэффициент касательной к ней связан с соотношением

Подставляя это выражение в уравнение и опуская индекс Т, получим соотношение между координатами произвольной точки и угловым коэффициентом ортогональной траектории в этой точке, т. е. дифференциальное уравнение ортогональных траекторий

Рис. 265.

Общий интеграл этого уравнения

дает семейство ортогональных траекторий.

С ортогональными траекториями приходится иметь дело, например, при рассмотрении плоского течения жидкости.

Положим, что течение жидкости на плоскости происходит так, что в каждой точке плоскости определен вектор скорости движения. Если этот вектор зависит только от положения точки на плоскости, но не зависит от времени, то движение называется стационарным, или установившимся. Такое

движение мы и будем рассматривать. Кроме того, мы допустим, что существует потенциал скоростей, т. е. такая функция что проекции вектора на оси координат являются ее частными производными по х и у:

Линии семейства

называются эквипотенциальными линиями (т. е. линиями равного потенциала).

Линии, касательные к которым во всех точках совпадают по направлению с вектором называются линиями тока и дают траектории движущихся точек.

Покажем, что линии тока суть ортогональные траектории семейства эквипотенциальных линий (рис. 266).

Рис. 266.

Пусть — угол, образованный вектором скорости v с осью Ох. Тогда на основании соотношения (4)

отсюда находим угловой коэффициент касательной к линии тока

Угловой коэффициент касательной к эквипотенциальной линии получим, дифференцируя по соотношение (5):

откуда

Таким образом, угловой коэффициент касательной к эквипотенциальной линии обратен по величине и противоположен по знаку угловому коэффициенту касательной к линии тока. Отсюда и следует, что эквипотенциальные линии и линии тока взаимно ортогональны.

В случае электрического или магнитного поля ортогональными траекториями семейства эквипотенциальных линий служат силовые линии этого поля.

Пример 1. Найти ортогональные траектории семейства парабол

Решение. Напишем дифференциальное уравнение семейства

Исключая С, получим Заменяя здесь у на получим дифференциальное уравнение семейства ортогональных траектории или

Его общий интеграл

Следовательно, ортогональными траекториями данного семейства парабол будет некоторое семейство эллипсов с полуосями (рис. 267).

Рис. 267.

Изогональные траектории. Пусть траектории пересекают кривые данного семейства под углом а, причем Угловой коэффициент (рис. 268) касательной к кривой семейства и угловой коэффициент к изогональной траектории связаны соотношением

т. е.

Подставляя это выражение в уравнение и опуская индекс получим дифференциальное уравнение изогональных траекторий.

Пример 2. Найти изогональные траектории семейства прямых

пересекающие линии данного семейства под углом а, тангенс которого

Решение. Напишем дифференциальное уравнение данного семейства. Дифференцируя по уравнение (8), находим . С другой стороны, из того же уравнения Следовательно, дифференциальное уравнение данного семейства имеет вид

Рис. 268,

Рис. 269.

Пользуясь соотношением (2), получим дифференциальное уравнение изогональных траекторий

Отсюда, опуская индекс находим

Интегрируя это однородное уравнение, получаем общий интеграл

который и определяет семейство изогональных траекторий. Чтобы выяснить, какие именно кривые входят в это семейство, перейдем к полярным координатам:

Подставляя эти выражения в равенство (9), получим или Следовательно, семейство изогональных траекторий является семейством логарифмических спиралей (рис. 269).