§ 9. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ

Пусть кривая на плоскости задана уравнением Точка с координатами на плоской кривой называется особой точкой, если в этой точке одновременно выполняются три уравнения:

Различают несколько основных типов особых точек. Пусть в особой точке не все производные второго порядка функции равны нулю. Введем обозначения

В зависимости от значения А возможны три случая:

а) если то изолированная точка (рис. 10, а)

б) если то двойная точка (узел) (рис. 10. б)

Рис. 10.

в) если то либо точка возврата первого или второго рода, либо изолированная точка, либо точка соприкосновения (рис. 10, в).

В первом случае на рис. 10, в изображена кривая, для которой точка возврата первого рода (ветви кривой расположены по разные стороны от полукасательной в ; во втором случае точка возврата второго рода, при этом полукасательная в не разделяет ветви кривой, в третьем точка соприкосновения двух ветвей (в частности, эти ветви могут совпадать друг с другом).

Предполагая, что функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка в некоторой окрестности точки запишем ее разложение Тейлора:

где бесконечно малая более высокого порядка, чем Обозначим Так как в особой точке выполняются три уравнения (1), то разложение приобретает вид

Обозначим

Правую и левую части уравнения кривой разделим на Тогда уравнение запишется так:

Покажем, что в случае а), т.е. если выражение

не обращается в нуль ни при каком значении а. Допустим, это не так, т.е. существует угол для которого

Разделив на получим квадратное уравнение для Так как дискриминант этого уравнения то действительные корни уравнения отсутствуют. Поэтому при всех значениях угла а модуль выражения (3) больше некоторого положительного числа. Рассмотрим уравнение (2). Допустим, имеется последовательность точек кривой, приближающихся к точке тогда Так как выражение (3) к нулю не стремится, то уравнение (2) не может выполняться при Поэтому изолированная точка кривой.

Рассмотрим случай, изображенный на рис. 10, б. Можно считать, что так как этого всегда можно добиться поворотом системы координат на плоскости х,у. Покажем сначала, что вблизи точки нет точек кривой для которых отношение сколь угодно мало. Допустим, что это не так и существует последовательность точек таких, что в этих точках

Разделив уравнение (2) на получим

В точках выполняется неравенство Поэтому для последовательности точек

Так как коэффициенты при также стремятся к нулю при то уравнение (4) для последовательности

чек не может выполняться. Итак, можем считать: найдется некоторое положительное число такое, что в окрестности точки для точек кривой имеет место неравенство Тогда для всех точек кривой вблизи имеем

Разделив левую часть уравнения (2) на получим

Решаем это уравнение, как квадратное относительно

Так как для точек кривой

то при отношение

Отсюда и из (5) следует, что значения для рассматриваемой кривой сколь угодно близки к двум величинам:

Это означает, что точки кривой вблизи особой точки сколь угодно близки к точкам двух пересекающихся в прямых:

Следовательно, точка является точкой пересечения двух ее ветвей. Отсюда название — двойная точка или узел.

Перейдем к рассмотрению наиболее сложного случая, изображенного на рис. 10, е. Поворотом системы координат на плоскости

можно добиться, чтобы Так как в случае в) то Можем считать, что и так как не все частные производные второго порядка равны нулю, то Следовательно, уравнение кривой записывается так:

Вид особенности зависит от знаков и более точного вида бесконечно малой Если одного знака, то изолированная особая точка кривой. Для дальнейшего анализа запишем разложение функции с помощью третьих производных. Уравнение кривой приобретает вид

где некоторые постоянные. Покажем, что для точек кривой отношение

Допустим, что это не так и существует последовательность точек такая, что это отношение в точках больше фиксированного положительного числа :

Разделив левую часть уравнения (6) на получим

Так как в точках бесконечно малая величина

то при в уравнении (8) все слагаемые, кроме С, стремятся к нулю при что невозможно. Следовательно, имеет место (7), т. е. кривая касается прямой, параллельной оси х.

Запишем уравнение кривой в виде

Отсюда находим

Если то в подкоренном выражении главной бесконечно малой будет . В этом случае кривая определена либо при либо при в зависимости от знака Так как то в числителе выражения для главной бесконечно малой будет Кривая в окрестности точки близка к кривой

состоящей из двух ветвей, которые расположены по разные стороны от полукасательной. Точка точка возврата первого рода.

Если то главным членом в подкоренном выражении может оказаться бесконечно малая Необходимо использовать дальнейшее разложение функции с помощью четвертых производных. Тогда уравнение кривой запишется в виде

где постоянные, определяемые четвертыми производными функции в точке Левую часть уравнения запишем в виде квадратного многочлена относительно

где бесконечно малая а имеет вид

Рассмотрим дискриминант уравнения

Если то в этом выражении главной бесконечно малой будет первое слагаемое. Если то подкоренное выражение отрицательно при малых следовательно, уравнение (9) не имеет действительных решений, отличных от . В этом случае изолированная точка. Если то кривая определена в окрестности точки при значениях произвольного знака. Запишем решение уравнения (9):

Кривая состоит из двух касающихся ветвей. В этом случае точка соприкосновения.

Если то в подкоренном выражении остается Допустим, при всех достаточно малых Тогда для имеем два решения, кривая состоит из двух касающихся ветвей, точка соприкосновения. Если же лишь при определенного знака, то кривая определена не при всех т.е. точка точка возврата. Если то будет бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с В этом случае обе ветви кривой расположены по одну сторону от полукасательной. Точка точка возврата второго рода. Если то точка может быть как точкой возврата первого рода (например, при так и точкой возврата второго рода (если и имеет больший порядок малости, чем

Проведенный анализ справедлив лишь в том случае, когда функция обладает достаточной регулярностью в особой точке кривой. Если функция не дифференцируема, то кривая может иметь особенность, которая не попадает под приведенную классификацию.

Например, определим функцию равенствами

Кривая, определяемая уравнением состоит из спирали и точки на которую эта спираль навивается бесконечное число раз. Точка особая для кривой. В этой точке функция не дифференцируема.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)