§ 26. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ОГРАНИЧЕННОСТИ КРИВОЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КРИВИЗНОЙ И КРУЧЕНИЕМ

Пусть кривизна и кручение кривой как функции длины дуги являются периодическими функциями с общим периодом Обозначим через отображение (вращение) в пространстве, переводящее естественный трехгранник в начальной точке в трехгранник в точке считая, что трехгранник параллельно перенесен в точку Пусть начало координат находится в точке Обозначим через радиус-вектор кривой . В работе [16] установлена

Теорема. Кривая бесконечной длины ограничена в том и только в случае, когда вектор ортогонален любому собственному вектору отображения , соответствующему собственному числу

Это утверждение можно сформулировать иначе. Пусть - ось вращения т.е. неподвижный вектор отображения у. Если то вектор а единственный. Следовательно, условие ограниченности, сфорлированное в теореме, сводится к условию Если же то тождественное отображение и поэтому любой вектор собственный, и тогда условие теоремы означает, что т.е. кривая замкнутая.

Перейдем к доказательству теоремы. Так как периодические, то кривая составлена из конгруэнтных кусков. Кусок кривой при конгруэнтен куску кривой при Так как естественные трехгранники в точках совмещаются вращением и так как кривая определяется своими кривизной

и кручением однозначно, то вращение примененное к первому куску, и затем параллельный перенос его на вектор дает совмещение этих двух кусков. Рассмотрим два вектора Проекция этих двух векторов на вектор одна и та же. Действительно,

Но Поэтому

Отсюда находим

Аналогично для любого целого получим

Поэтому для ограниченности кривой необходимо условие

Это же условие и достаточно для ограниченности кривой в направлении вектора . Действительно, если это условие выполнено, то концевые точки кусков кривой, соответствующих интервалам лежат в плоскости , ортогональной вектору и проходящей через точку Кроме того, эти куски конгруэнтны. Поэтому кривая ограничена в направлении вектора . Покажем, что условие (1) также достаточно для ограниченности и во всех других направлениях, т.е. что кривая ограничена в пространстве. Для этого достаточно показать, что концевые точки лежат в ограниченной области пространства. Эти точки лежат в плоскости . Соединим их последовательно отрезками прямых. Получим ломаную Длины звеньев этой ломаной равны, а также равны углы между соседними звеньями. При этом если то они отличны от нуля и в этом случае ломкая I вписывается в некоторую окружность. Следовательно, ограничена. Если же то I — либо точка, либо луч. В этом случае условием теоремы является Если то вырождается в точку и кривая замкнута, если то луч и кривая не ограничена в пространстве.

С помощью установленной теоремы в работе [17] были даны достаточные условия, сформулированные с помощью сферической индикатрисы кривой, для того чтобы кривая с периодическими кривизной и кручением была не ограничена в пространстве.

Сферическую индикатрису кривой у обозначим Кривую на сфере назовем выпуклой, если она может служить частью замкнутой выпуклой кривой.

Обозначим через участок сферической индикатрисы касательных, соответствующих отрезку кривой у.

Теорема. Если кривая у не плоская, а сферическая индикатриса при всех выпукла, то кривая у не ограничена в пространстве.

Пусть — единичный касательный вектор к кривой у. На сферической индикатрисе касательных он изображается точкой. Можем записать

Пусть выпуклая оболочка кривой Конус, образованный лучами с началом в центре О сферы и проходящими через все точки выпуклый. Любая интегральная сумма, приближающая правую часть в (2), является суммой векторов, лежащих на границе выпуклого конуса, и поэтому является вектором, лежащим внутри этого конуса. Следовательно, вектор отложенный от точки О, направлен внутрь области

Обозначим через касательные векторы к в точках Поворот индуцирует вращение единичной сферы, при котором точка переходит в и касательный вектор переходит в вектор . Это вращение сферы строится следующим образом. Так как при вращении вокруг некоторой точки на сфере другие ее точки описывают дуги окружностей с центром в точке то точки лежат на окружности, вообще говоря, малой, касающейся в точках векторов Если перенести параллельно в точку и провести через точку плоскость, содержащую то пересечение этой плоскости со сферой дает искомую окружность. Центр этой окружности обозначим а диаметрально противоположную точку — Прямая, проведенная через параллельна оси вращения у.

Если дня любой точки любой из кривых сферическое расстояние то при любом кривая лежит внутри полусферы с центром или Следовательно, и выпуклая оболочка кривой лежит внутри этой полусферы. Так как идет внутрь то где вектор с началом в точке О и концом в точке

Если на одной из кривых найдется точка такая, что то за примем значение параметра, соответствующего этой точке. Рассмотрим индикатрису Точки лежат на большой окружности с центром в Так как выпукла и отлична от дуги большого круга ( — не плоская кривая), то , и

через эти точки проходит единственная дуга большого круга. Сама дуга лежит по одну сторону от этого большого круга. Следовательно, любая внутренняя точка выпуклой оболочки кривой удалена от или меньше чем на или 2.

С помощью этой теоремы в работе [17] доказана следующая Теорема. Пусть интегральные кривизна и кручение

неплоской кривой у с неотрицательным кручением удовлетворяют одному из следующих условий:

или

Тогда кривая у не ограничена.