§ 3. РЕГУЛЯРНАЯ КРИВАЯ И СПОСОБЫ ЕЕ ЗАДАНИЯ

Кривая у назьюается регулярной класса если существует такая ее параметризация, что каждая компонента принадлежит классу регулярности

Покажем, что условие в определении кривой существенно для того, чтобы оно соответствовало наглядному представлению о регулярной кривой. Рассмотрим на плоскости кривую, которая составлена из двух лучей, выходящих из начала координат, и которая задается параметрическими уравнениями

Если векторы не коллинеарны, то линия имеет излом в точке . В то же время каждая компонента радиус-вектора этой кривой принадлежит классу регулярности в том числе и в точке . В точке имеем

Кривая регулярная класса назьюается гладкой. Если кривая взаимно однозначно проектируется на некоторый отрезок координатной оси х, то для кривой можно указать особенно простое задание:

Действительно, пусть некоторое параметрическое задание кривой, взаимно однозначно проектирующейся

на отрезок оси х. Тогда каждому значению х из этого отрезка соответствует значение такое, что точка кривой проектируется на ось х в точку Это означает, что можно записать как функцию от Подставляя в выражение функций получаем выражение зависимости координату и

где функция, полученная суперпозицией суперпозиция функций Следовательно, радиус-вектор кривой представляется в указанном выше виде (1).

В каком случае кривую можно регулярно спроектировать на отрезок оси Пусть кривая у - регулярная класса Рассмотрим функцию

Так как то функция монотонна на некотором интервале оси х и существует обратная функция Так как то функция Это и означает, что каждому значению соответствует одно и только одно значение следовательно, одна и только одна точка на кривой — кривая проектируется на отрезок оси х. Заметам, что в этом случае и принадлежат классу регулярности

Для кривых на плоскости также часто используется неявное задание

как множества точек на плоскости х, у, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Однако для некоторых функций уравнение (2) либо не имеет решений, либо ему удовлетворяют координаты лишь отдельных точек. Поэтому уместно задать вопрос: в каком случае уравнение (2) задает кривую (в смысле определения кривой в § 1) Имеет место

Теорема. Пусть функция класса регулярности Пусть точка с координатами удовлетворяет уравнению

и в этой точке Тогда в некоторой окрестности точки множество точек, удовлетворяющих уравнению (2), образует кривую регулярную класса

Для доказательства используем следующую теорему о неявной функции:

Пусть функция Ф(х, у) определена в некоторой окрестности точки и принадлежит классу регулярности Пусть найдется такое и функция регулярная класса определенная в интервале и

Так как по условию то для определенности можем считать, что в точке

Пусть функция определена по теореме о неявной функции. Тогда множество точек на плоскости с координатами определяет регулярную кривую в некоторой окрестности точки совпадающую с кривой (2). В качестве параметра на ней взято х. Так как функция то кривая гладкая.

Наряду с отдельными кривыми рассматриваются и семейства кривых. При этом, используя тот или иной способ задания кривых, бывает удобно поставить в соответствие каждой кривой семейства одно или несколько чисел — параметров. По количеству параметров семейства кривых делятся на однопараметрические, двупараметрические и т.д. Например, каждая прямая из семейства прямых на плоскости х, у, параллельных оси определяется одним параметром. Семейство окружностей на плоскости зависит от трех параметров.

Пусть через каждую точку области плоскости проходит одна и только одца кривая. Будем говорить, что это множество кривых образует регулярное однопараметрическое семейство класса если для каждой точки найдется окрестность и отображение х этой окрестности на круг класса регулярноети с якобианом при котором кривые семейства переходят в прямые

Линии уровня регулярной функциц образуют регулярное семейство в окрестности точки при условии, что в точке Действительно, пусть, например, Отображение имеет якобиан и переводит кривые в прямые

Задачи

(см. скан)

(см. скан)