§ 24. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ОКРУЖНОСТИ

Рассмотрим замкнутую спрямляемую плоскую кривую длины Пусть площадь плоской области, ограниченной кривой равна Длина и площадь связаны друг с другом следующим

изопериметрическим неравенством:

Равенство имеет место лишь в том случае, когда кривая окружность. Это означает, что среди всех замкнутых кривых с одним и тем же периметром наибольшую площадь ограничивает окружность.

Мы докажем неравенство для гладких кривых. Пусть координаты радиус-вектора кривой, параметризованные длиной дуги Вместо введем параметр изменяющийся на отрезке Функции х и у будут периодически зависеть от с периодом Имеем

Поэтому

и

Разложим теперь функции в тригонометрические ряды:

Так как дифференцируемые функции, то ряды Фурье для их производных имеют вид

Так как функции ортогональны друг другу на отрезке при к то

Площадь области, ограниченная кривой находится из анализа по формуле

Запишем выражение

Так как правая часть этого уравнения больше или равна нулю, то

Равенство здесь будет в том случае, когда при Следовательно, это возможно, лишь если при Кривую в этом случае можно записать в виде

Это параметрические уравнения окружности. Утверждение доказано.

Впервые изопериметрическое неравенство было доказано Штейнером четырехшарнирным методом. Приведенное доказательство дано Гурвицем.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)