§ 27. ЗАДАЧА ДЕЛОНЕ

Известный французский астроном и математик Делоне в 1843 г. в работе [32] по вариационному исчислению поставил задачу нахождения кривой постоянной кривизны, которая соединяет две заданные точки и имеет среди таких кривых наибольшую или наименьшую длину. Вейерштрасс дал решение этой задачи при условии, что кривая в точках касается заданных векторов [19]. Мы изложим это решение.

Пусть радиус-вектор кривой, соединяющей точки Параметр изменяется на отрезке причем Без ограничения общности можно считать, что заданная кривизна равна 1. Производную по будем обозначать . Для искомой кривой должно выполняться соотношение

которое перепишем в следующем виде:

где длина дуги кривой. Условие минимизации длины кривой

при соблюдении условия (2) можно заменить условием минимизации интеграла

где некоторая неизвестная пока функция от Пусть кривая при варьировании переходит в кривую Запишем вариацию подынтегрального выражения в (3). Она будет равна

Воспользуемся формулой из аналитической геометрии:

Тогда можем записать

Кроме того, можно очевидно найти

Преобразуя выражение (4), мы соберем отдельно члены, содержащие и Введем два вектора:

Тогда подьштегральное выражение (4) имеет вид

Мы считаем, что операции дифференцирования по и варьирования перестановочны. Заметим, что конечные точки кривой закреплены, поэтому на ее концах и так как по условию задачи в конечных точках закреплены касательные, то в этих точках Интегрируя по частям (6) с учетом замечаний, пртучаем

Так как вариацию можно взять равной нулю вне некоторой окрестности точки то обычным образом получим условие экстремума интеграла

Это означает, что вектор постоянный. Обозначим его С. Далее будем предполагать, что в качестве параметра на кривой взята длина дуги Тогда Запишем теперь уравнение, которому должна удовлетворять искомая кривая:

Умножим это уравнение векторно на и проинтегрируем. Получим

где постоянный вектор. Перейдем теперь к координатной записи этого уравнения. При этом удобно выбрать координаты в пространстве так, чтобы ось х была направлена по вектору С, т.е. чтобы в этих координатах Введем также специальные обозначения для компонент вектора Именно, положим Уравнение (9) перепишем в таком виде:

Так как то, дифференцируя получаем Умножая (8) скалярно на находим

где Обозначим также С помощью второго и третьего уравнений системы (10) мы получим

Используя первое уравнение системы (10), запишем

Поэтому уравнение (12) можно записать так:

где Отсюда следует

Найдем теперь выражение левой части этого уравнения через Так как то с помощью системы (10) найдем

Таким образом, удовлетворяет дифференциальному уравнению

Решениями этого уравнения в общем случае являются эллиптические функции. Рассмотрим частные случаи. Первый — особый случай, когда постоянная, удовлетворяющая уравнению

В этом случае и постоянная. Из второго уравнения системы (10) найдем

Обозначим Тогда решением этого уравнения будет

Аналогичное уравнение получим дляу, интегрируя которое, найдем

Компонента легко находится из урайнения

Таким образом, в этом случае искомая кривая, определяемая уравнениями (14) - (16), является винтовой линией.

Второй частный случай: Тогда из уравнения (13) находим

В этом случае легко определить Следовательно, в этом случае искомая кривая является дугой окружности

где постоянные удовлетворяют соотношению

После работы Вейерштрасса задача Делоне была предметом многих исследований [20, 33-35]. Г. А. Шварц заметил, что если отбросить условие касания кривой в концевых точках заданных направлений, то решение задачи не всегда существует. Именно, если расстояние между точками удовлетворяет неравенству то для любою заданного числа найдется кривая с кривизной имеющая длину и соединяющая точки В качестве такой кривой можно взять винтовую линию, проходящую через имеющую кривизну и подходящим образом выбранный шаг винта. Это означает, что задача Делоне в этом случае не имеет решерия.

Но при имеются сразу два решения — две дуги окружности радиуса 1, проходящей через точки стягиваемые хордой Вращая эти дуги вокруг хорды получаем два семейства решений. Г. А. Шварцем в 1884 г. была найдена следующая

Теорема 1. Пусть между точками расстояние Пусть длины двух дуг окружности радиуса 1, стягиваемых хордой Тогда любая другая кривая с кривизной 1, соединяющая имеет длину которая удовлетворяет одному из неравенств

Таким образом, не существует ни одной кривой кривизны 1, соединяющей к длина которой лежит между а и 0. Г. А. Шварц не опубликовал свое доказательство. В работе [33] А. Шур по совету Д. Гильберта доказал теорему 1, установив предварительно свойство увеличения хорды плоской выпуклой кривой при скручивании. Скручиванием он называет такое преобразование кривой, при котором сохраняются длины дуг и кривизна. Имеет место

Теорема 2. Пусть плоская кривая с концами вместе со своей хордой образует замкнутую выпуклую кривую. При скручивании этой кривой длина хорды увеличивается.

Доказательство очень наглядно проводится для ломаных линий. Аналогом кривизны для таких кривых является угол между двумя соседними звеньями, а аналогом кручения - угол между плоскостями, проведенными через две пары соседних звеньев (см. § 14). Пусть задана плоская ломаная линия которая вместе с хордой образует замкнутую выпуклую кривую. Обозначим через прямую, содержащую отрезок а через прямую, содержащую Обозначим через точки пересечения Так как кривая выпуклая, то точки расположены вне отрезка Скручивание кривой у можно представить как последовательность вращений вокруг осей Именно,

Рис. 31 (см. скан)

при первом вращении повернем только отрезок вокруг а оставшийся кусок кривой оставим неподвижным. Пусть точка при этом вращении переходит в При втором вращении повернем как твердое тело вокруг оси Точки, получаемые из вращениями, произведенными друг за другом, обозначим Вокруг точки опишем шар со радиусом Далее, вокруг каждой точки опишем шар радиуса

Пусть точки расположены на луче прямой а точки расположены на луче Тогда шары так как радиусы их увеличиваются с номером, а центры расположены на одной и той же прямой, вкладываются друг друга таким образом: Шар со расположен вне более того, со и расположены в разных полупространствах относительно плоскости, касающейся их в точке Для последовательности шаров имеет место обратное включение Используем далее следующее очевидное свойство: при вращении вокруг оси множество точек граничной сферы шара переходит всебя, внутренние точки шара переходят во внутренние, внешние — во внешние. Точка полученная из вращением вокруг лежит на границе следовательно, она лежит внутри поэтому точка полученная из вращением вокруг лежит внутри Аналогично получим, что для всех следовательно,

Рис. 32

Так как лежит вне то при вращении вокруг она перейдет в точку лежащую вне сок Продолжая этот процесс, получим, что последняя точка лежит вне следовательно, вне Поэтому Теорема 2 доказана.

Применим ее к доказательству теоремы 1. Допустим, что вопреки утверждению теоремы кривая у кривизны 1, соединяющая точки расположенные на расстоянии имеет длину

удовлетворяющую неравенствам Проведем окружность радиуса 1 с хордой и от точки отложим вторую хорду длины Длина меньшей дуги равна а, длина дуги равна 0. От точки отложим дугу длины . В силу предположения точка будет расположена на дуге не содержащей Поэтому длина хорды Применим теорему 2 к дуге окружности Кривая у получается из дуги скручиванием, поэтому ее хорда что противоречит ранее установленному неравенству. Теорема 1 доказана.