§ 4. КАСАТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ К КРИВОЙ

Пусть точка на кривой некоторая ее окрестность на у такая, что разбивает ее на две полуокрестности (рис. 1). Возьмем на кривой у вторую точку Проведем луч с началом Полукасателъной к кривой в точке соответствующей полуокрестности будем называть предельное положение лучей если оно существует, когда точка стремится к точке оставаясь в полуокрестности Если в точке существуют обе полукасательные и они являются дополнительными лучами одной прямой, то эта прямая называется касательной прямой в точке к кривой у.

Рис. 1

Поясним использованное нами выражение — предельное положение луча. Опишем вокруг точки единичную сферу. Луч пересечет ее в некоторой точке Если точка при стремлении точки стремится к некоторой точке то в этом случае говорим, что существует предельное положение лучей и оно совпадает с лучом

Пусть задана гладкая кривая в регулярной параметризации Найдем направление касательной прямой в точке Имеет место

Теорема. Гладкая кривая у в каждой своей точке имеет касательную прямую, направляющим вектором которой является вектор

Пусть точке соответствует значение параметра а близкой точке значение параметра причем если то находится в одной полуокрестности, если то в другой полуокрестности. Вектор имеет вид

Так как кривая у гладкая, то имеет место разложение

где вектор имеет бесконечно малую длину и

Правую и левую части равенства (1) разделим на число . Вектор

при имеет то же направление, что и луч а при имеет противоположное направление. В этом равенстве перейдем к пределу при силу (2) и из определения гладкости кривой следует, что этот предел существует и он равен Это означает, что существуют полукасательные, соответствующие полуокрестностям точки они являются дополнительными лучами одной прямой - касательной с направляющим вектором

Для некоторых нерегулярных кривых обе полукасательные в некоторой точке соответствующие полуокрестностям существуют и совпадают друг с другом. В этом случае будем говорить, что кривая в точке имеет полу касательную, а точка является точкой возврата.

Запишем уравнение касательной прямой к регулярной кривой в точке Пусть радиус-вектор произвольной точки касательной прямой. Эта прямая проходит через точку кривой по

направлению Поэтому радиус-вектор точки касательной прямой имеет вид

Сравним это выражение с разложением радиус-вектора кривой окрестности точки

Если взять то радиус-вектор кривой отличается от радиус-вектора точки касательной прямой на бесконечно малую

Поэтому при достаточно малом кривую у можно приближенно заменить на касательную прямую. Иными словами, касательная прямая является первым приближением кривой.

При изменении параметра X от до точка с радиус-вектором пробегает всю касательную прямую. В координатной форме ее уравнение записывается так:

Рассмотрим кривую у, заданную двумя уравнениями:

Предположим, что в точке этой кривой ранг матрицы

равен 2. Пусть регулярная параметризация этой же кривой в окрестности точки При подстановке этих функций в левую часть уравнений (3) получим тождества

Дифференцируя эти тождества по и применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем

Таким образом, для компонент касательного к кривой у вектора имеем систему двух уравнений. Компоненты решения этой системы уравнений пропорциональны алгебраическим минорам матрицы

Так как по предположению ранг матрицы (4) в точке равен 2, то не все ее миноры второго порядка раэны нулю.

Для плоской кривой с условием для определения имеем уравнение

В качестве касательного вектора можем взять вектор Уравнение касательной прямой имеет вид

Пусть у - гладкая пространственная кривая. Плоскость, проходящая через точку перпендикулярно касательной к у в этой точке, называется нормальной плоскостью. Пусть радиус-вектор произвольной точки этой плоскости. Так как нормальный вектор плоскости и вектор лежит в ней, то уравнение нормальной плоскости имеет вид

Векторы, ортогональные к касательной прямой, называются нормалями кривой.