§ 6. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ

Перейдем к определению длины дуги кривой. Пусть пространственная кривая у дана в параметрическом представлении и параметр изменяется на отрезке Для произвольной ломаной кривой, состоящей из конечного числа отрезков прямых, длина равна сумме длин составляющих ее отрезков. Впишем в кривую у ломаную следующим образом. Для этого на отрезке возьмем точки На кривой у им соответствуют точки (рис. 3). Соединяя последовательно точки и т.д. отрезками прямых, получим ломаную, вписанную в , с вершинами Рассмотрим длину этой вписанной ломаной. При добавлении вершин длина вписанной ломаной увеличивается. Действительно, если на дуге кривой у с концами взята точка новая вершина, - то сумма длин прямолинейных отрезков больше длины прямолинейного отрезка Поэтому длина новой вписанной ломаной с вершинами больше длины ломаной с прежними вершинами

Кривая у называется спрямляемой, если длины всех вписанных в нее указанным образом ломаных ограничены сверху. Верхняя грань длин всех таких ломаных, которая существует по теореме Вейерштрасса, называется длиной кривой . Будем обозначать длину через Имеет место

Теорема. Гладкая кривая спрямляема, и длина кривой есть интеграл от

Рис. 3

модуля производной

Докажем сначала, что гладкая кривая у спрямляема. Оценим длину произвольной ломаной вписанной в у. Пусть радиус-вектор вершин Тогда ее длина есть сумма длин векторов каждый из которых может быть найден как интеграл от на отрезке

Так как кривая гладкая, то каждая компонента вектора - непрерывная функция, следовательно, она ограничена по модулю, поэтому ограничена длина вектора Найдется некоторое число зависящее только от у, такое что на отрезке

Следовательно,

т.е. длины всех вписанных в у ломаных ограничены сверху. Кривая у спрямляема.

Покажем, что длина у вычисляется по формуле (1). Рассмотрим снова длину ломаной Каждую компоненту вектора запишем по теореме о среднем в виде производной от этой компоненты в некоторой промежуточной точке, умноженной на

где точки на отрезке Это точки, вообще говоря, различны. Заменим их на одну точку из отрезка и оценим получившуюся при этом погрешность. Запишем

где вектор имеет вид

При достаточно мелком разбиении отрезка длина вектора может быть сделана сколь угодно малой. Действительно, каждая

компонента вектора непрерывна на этом отрезке и, следовательно, равномерно непрерывна. Для любого найдется такое, что как только то Возводя (2) в квадрат, получаем

Следовательно,

Оценим слагаемые, входящие в правую часть этого равенства. Имеем

Далее запишем

Согласно (3) вектор является разностью двух векторов, поэтому по неравенству треугольника его длина меньше или равна сумме длин этих векторов:

Следовательно, длина вектора

меньше 1. Выражение в правой части (5) меньше а выражение в правой части равенства (4) по модулю меньше Итак, отличается по модулю от не больше чем на

Оценим разность меаду длиной кривой и суммой

Но сумма является интегральной суммой для

функции и при достаточно малом разбиении отрезка сколь угодно мало отличается от

С другой стороны, в кривую можно вписать ломаную длина которой сколь угодно мало отличается от длины кривой Так как произвольно, то совпадает с интегралом (6). Формула (1) доказана.

По самому определению длина кривой не зависит от выбора какой-либо параметризации на ней. Поэтому в формуле (1) для вычисления длины можно взять любую другую параметризацию

Понятие длины кривой позволяет определить на кривой параметр, наиболее естественным образом связанный с ней. Выберем на кривой точку и какое-либо направление на ней. Возьмем в качестве параметра на кривой длину дуги взятую со знаком если дуга имеет положительное направление, и со знаком если дуга имеет отрицательное направление. Если до этого на кривой была другая параметризация и точке соответствовало значение а точке значение то длина является монотонной функцией от парамётра и вычисляется по формуле

и поэтому может быть принята в качестве параметра. Действительно,

Введенную с помощью длины дуги параметризацию будем называть естественной, а соответствующее параметрическое представление кривой будем записывать в виде . С помощью (7) можем записать

т.е. модуль дифференциала длины дуги равен модулю дифференциала радиус-вектора кривой. Следовательно,

Поэтому имеет место следующее отличительное свойство естественной параметризации: если естественная

параметризация кривой, то длина вектора равна:

и наоборот, если для некоторого параметра вектор единичный, то длина дуги.

Задачи

(см. скан)