§ 28. ТЕОРЕМА ЖОРДАНА О ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ

Перейдем к рассмотрению некоторых топологических свойств замкнутых кривых на плоскости. Будем называть замкнутой жордановой кривой топологический образ окружности, а простой дугой - топологический образ отрезка. Хорошо известна следующая теорема Жордана: всякая плоская замкнутая жорданова кривая у разбивает плоскость на две области и является их совместной границей. Кривая на двумерной сфере тоже разбивает ее на две области, а на других замкнутых поверхностях, не гомеоморфных сфере, существуют замкнутые кривые, не разбивающие их.

Мы приведем достаточно краткое элементарное доказательство теоремы Жордана, принадлежащее А. Ф. Филиппову [51].

Введем на плоскости выделенное направление, задаваемое лучом Это направление будем называть направлением вертикально вверх. Назовем настоящей точкой пересечения ломаной с прямой (или полупрямой) : 1) всякую точку пересечения не являющуюся вершиной; 2) каждую вершину (или сторону) ломаной лежащую на и такую, что примыкающие к ней стороны ломаной лежат по разные стороны прямой Для каждой точки плоскости определим функцию Проведем через точку направленный вверх луч Функция равна 0, если число настоящих точек пересечения луча четно, и равна 1, если это число нечетно.

Лемма 1. Пусть некоторые непересекающиеся ломаные, причем либо замкнута, либо лежит между прямыми, проведенными через концы параллельно Тогда функция для всех точек имеет одно и то же значение.

Через вершины ломаной проведем вертикальные прямые. Тогда на отрезке ломаной заключенном между двумя соседними вертикальными прямыми, включая его концы, значение функции постоянно. Отсюда следует, что эта функция постоянна на всей ломаной

Лемма 2. Замкнутая кривая у делит плоскость не менее чем на две области.

Пусть самая левая точка кривой самая правая. Они делят у на две дуги Пусть — самая верхняя точка пересечения у с произвольной вертикальной прямой проходящей между точками Пусть Возьмем точку с на ниже самой нижней точки пересечения и так, чтобы (рис. 33). Всегда можно выбрать луч так, чтобы он не пересекал кривую у.

Рис. 33

Рис. 34

Покажем, что точку с нельзя соединить с точкой О ломаной, не пересекающей у. Предположим противное: пусть ломаная не пересекает у. Тогда

где лучи, направленные из с вниз, а из а - вверх, - часть дуга между вертикальный отрезок. Обозначим Впишем в у замкнутую ломаную со сторонами длины меньше такую, что точки должны являться вершинами ломаной. Пусть части ломаной составленные из отрезков, вершины которых лежат соответственно на Любая точка ломаной удалена от у на расстояние, меньшее Можем установить три заключения:

а)так как то не пересекает М;

б)так как , то х не пересекает ;

в)так как то не пересекает .

Подсчитаем значение функций Концы ломаной лежат по разные стороны от прямой Поэтому

число настоящих точек пересечения нечетно. Поэтому

Ломаная не пересекается с и расположена между вертикальными прямыми, проведенными через концы По лемме Но вертикальный луч не пересекает Следовательно, Так как составлена из ломаных то Поэтому . С другой стороны, в силу выбора луча Кривая не пересекается Значение функции вдоль ломаной должно быть постоянным. Но мы получили Полученное противоречие показывает, что ломаной М нет.

Лемма 3. Простая дуга не разбивает плоскость.

Пусть простая дуга. Предположим противное, т.е. допустим, что существуют точки такие, что любая ломаная, соединяющая их, пересекает дугу Можем считать, что на дуге выбран порядок от а к Пусть с — верхняя грань на точек с, для которых дуга не разделяет точек Докажем, что и не разделяет Построим квадрат с центром с, не содержащий точек Пусть последняя точка пересечения дуги с его границей Построим такой малый квадрат с центром с, что дуга лежит вне Пусть последняя на точка пересечения с его границей Так как то не разделяет точек Ломаную, которая соединяет точки не пересекая обозначим Если не пересекает то утверждение доказано. Поэтому пусть пересекает дугу Пусть кусок ломаной лежащий внутри и пересекающий с концевыми точками на Докажем, что можно заменить другим куском ломаной, не пересекающим дугу Точки делят на две части Пусть лежит на Ломаная делит на области, одна из которых примыкает Тогда дуга не имеет общих точек с (замыканием области так как лежит вне не пересекается с границей состоящей из (рис. 34).

Множество состоит из многоугольников, один из которых примыкает к Точки лежат на границе Заменим ломаную на ломаную Ломаная соединяющая точки не пересекается с как она состоит из той части ломаной которая расположена вне и которая не пересекается с и частью границы расположенной в области Итак, каждый участок ломаной можно заменить на ломаную которая не пересекает Следовательно, не разделяет точек

Докажем, что точка с совпадает с Пусть близкая точка к с такая, что дуга лежит в круге радиуса меньше Тогда тоже не разделяет точек Но тогда — не верхняя грань точек, разделяющих Следовательно, лемма доказана.

Лемма 4. Замкнутая кривая является границей каждой из областей на которые она делит плоскость.

Пусть не принадлежит границе области Напомним, что граница области состоит из тех и только тех точек, в любой окрестности которых существуют и точки области, и точки, ей не принадлежащие. Возьмем точки Пусть X — открытая дуга, принадлежащая у и лежащая в круге с центром в а и радиусом Тогда лежит в простой дуге Но разделяет точки следовательно, и простая дуга у — X разделяет эти точки, что противоречит лемме 3.

Перейдем теперь к завершению доказательства теоремы. Пусть области, на которые кривая у делит плоскость. Пусть точки и с вне замыкания области Докажем, что и с можно соединить ломаной, не пересекающей у. Из точки проведем два луча, пересекающие у. Пусть ближайшие к точки пересечения этих лучей с у. Аналогично построим точки Отрезки не пересекаются с Имеются лишь две возможности: 1) либо пара точек на 7 разделяется парой точек эти пары друг друга не разделяют. Соответственно этим возможностям и с точностью до обозначения порядок расположения точек на у следующий: . В обоих этих случаях дальнейшее доказательство идет одинаково. Рассмотрим замкнутую жорданову кривую где ломаные, дуги у. Кривая по лемме 2 разбивает плоскость на области Пусть а По лемме 4 в окрестности каждой точки и с найдутся точки Существует ломаная , соединяющая точки Допустим, эта ломаная пересекается с в некоторой точке По лемме 4 в окрестности существует точка Соединим точку ломаной, лежащей в Эта ломаная не пересекается с так как составлена из дуг у и отрезков не пересекающихся с Поэтому что противоречит допущению а Следовательно, точки и с лежат в одной области. Теорема доказана.

Рассмотрим на ориентированной плоскости гладкую замкнутую кривую , вообще говоря, с самопересечениями. Будем предполагать. что число точек самопересечения конечно, равно и через каждую точку самопересечения проходят только две не касающиеся друг друга ветви кривой. Касательный вектор пере

несем параллельно так, чтобы его начало попало в точку О. Точка конец вектора будет расположена на единичной окружности, и, когда точка обойдет кривую , точка обойдет окружность некоторое целое число раз. Еще Гаусс указывал на связь с числом точек самопересечения Число равно интегралу от кривизны кривой, понимаемой со знаком, взятому по всей кривой и деленному на При непрерьюной деформации кривой у с сохранением гладкости число не меняется, но могут возникать новые точки пересечения или наоборот исчезать. Каждый раз изменение их числа происходит на четное число. На простых примерах видно, что числа тип отличаются на нечетное число. Можно указать на более определенную связь между ними. Точки самопересечения могут быть двух типов. Выберем некоторую точку А на внешней дуге кривой 7, не являющуюся точкой самопересечения, и от нее будем обходить у. Тогда в точке самопересечения В одна ветвь будет первой — ее касательный вектор обозначим а другая ветвь будет второй — ее касательный вектор обозначим Предпишем точке если ориентация репера положительная, и -1, если ориентация отрицательная. Сумма взятая по всем точкам самопересечения, есть число Уитни Тогда, в зависимости от выбора положения точки А, имеет место или .