§ 21. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ КРИВЫХ

Пусть замкнутая регулярная кривая в с кривизной k. Докажем неравенство Фенхеля [12]

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда плоская выпуклая кривая.

Определим сферическую индикатрису касательных кривой Пусть точка на единичный вектор касательной в точке Единичный вектор отложим от начала координат О. Конец этого вектора при перемещении точки вдоль кривой опишет некоторую кривую у, лежащую на единичной сфере. Кривая у называется сферической индикатрисой касательных. Найдем длину ее дуги, которую обозначим о. Длину всей кривой у обозначим через Радиус-вектор у задается вектором причем длина дуги кривой будет некоторым параметром на у, которую можно рассматривать как возрастающую функцию от а, т.е. Производная вектора по а будет единичным касательным вектором к у. По правилу дифференцирования сложной функции получим

Возводя в квадрат, получаем

Следовательно, Поэтому интеграл в формуле (1) является ничем иным, как длиной индикатрисы касательных:

Значит, чтобы доказать неравенство Фенхеля, надо оценить длину сферической индикатрисы касательных замкнутой кривой.

Сферическая индикатриса у замкнутой не плоской кривой обладает следующим отличительным свойством: эта кривая пересекается с любым большим кругом сферы по крайней мере в двух точках и потому не помещается ни на какой полусфере. Действительно, рассмотрим пересечение у с большим кругом, лежащим в плоскости, ортогональной вектору Если точка у принадлежит этому пересечению, то это означает, что в соответствующей точке кривой касательный к ней вектор ортогонален к Плоскость, ортогональную к и проходящую через начало координат, обозначим а. Так как кривая замкнута, то на ней всегда найдутся точки, в которой функция расстояния от точки кривой до плоскости а достигает максимума и минимума. В этих точках касательный вектор к параллелен а и поэтому в соответствующих точках на кривой у большой круг, лежащий в плоскости , пересекает у.

Предположим, что неравенство (1) не имеет места. Однако мы покажем, что каждая замкнутая кривая, расположенная на единичной сфере и более короткая чем содержится в открытой полусфере. Для доказательства этого утверждения мы используем следующее свойство больших кругов: для двух не диаметрально противоположных точек на сфере кратчайшее расстояние среди всех кривых на сфере, соединяющих эти точки, дает дуга большого круга, с концами в этих точках.

Имеет место даже более общее утверждение, доказанное в [11].

Теорема. Пусть С - замкнутая кривая длины расположенная на единичной сфере. Тогда существует точка на той сфере такая, что расстояние по сфере от точки до каждой точки будет

Для любых точек на сфере мы будем обозначать через кратчайшее расстояние между этими точками по сфере. Если то существует единственная точка центр пары такая, что

Лемма. Пусть центр пары точка на сфере, для которой Тогда

Для доказательства леммы через точки проведем большой круг сферы и на нем от точки отложим отрезок длины в сторону, противоположную отрезку Второй конец этого отрезка точка, симметричная по отношению к Имеет место равенство Так как то

С другой стороны, для расстояний между тремя точками имеет

место неравенство треугольника. Применяя его, получаем

Итак лемма доказана.

Пусть С — кривая, удовлетворяющая условиям теоремы. Возьмем на С две точки такие, что две определяемые ими дуги кривой С были одной и той же длины: Так как то определен центр пары Покажем, что точка удалена от каждой точки С на расстояние Возьмем какую-нибудь точку Предположим сначала, что Это предположение позволяет применить неравенство доказанной выше леммы. Пусть для определенности и разбивает эту дугу на две дуги и Тогда

В силу (2) имеем

Поэтому Итак, видим, что как функция не имеет значений в открытом интервале если ее значение строго меньше то оно не больше Эта функция непрерывна, и поэтому для всех точек кривой С либо либо Но Поэтому для всех точек х имеет место Теорема доказана.

Так как у не содержится на полусфере, то ее длина что и доказывает неравенство (1).

Рассмотрим теперь не имеющую самопересечений заузленную кривую Заузленность кривой означает, что ее нельзя непрерывной деформацией без самопересечений перевести в обычную окружность.

Для заузленной кривой имеет место неравенсгво Фэри - Милнора [13-14]

Доказательство его можно провести с помощью следующей формулы интегральной геометрии [15]. Пусть на единичной сфере лежит замкнутая кривая у длины Обозначим через число точек пересечения у с большим кругом, лежащим в плоскости, ортогональной единичному вектору Пусть элемент площади сферы со в точке - конце вектора Тогда длина кривой у на со может быть выражена через интеграл от числа точек пересечения взятый по всей сфере :

Пусть заузленная замкнутая кривая. Покажем, что в этом случае кривая у пересекается с каждым большим кругом на не менее чем в четырех точках. Допустим, что у пересекается с некоторым большим кругом только в двух точках. Это означает, что функция расстояния от точки кривой до некоторой плоскости а имеет только две экстремальные точки Тогда можно разбить на две дуги, так что на одной строго возрастает, а на другой строго убывает. Поэтому каждая плоскость параллельная и расположенная между пересекает в двух точках Соединим их прямолинейным отрезком Совокупность этих непересекающихся отрезков образует поверхность, на которой расположена кривая Область, ограниченная на этой поверхности, гомеоморфна кругу, так как нетрудно установить взаимно однозначное и непрерывное соответствие точек каждого отрезка с точками хорд круга. Поэтому кривая незаузлена, что противоречит предположению. Значит, функция имеет по крайней мере три, а следовательно, и четыре точки экстремума. Применяя формулу (3) и условие получаем неравенство Фэри - Милнора.