§ 32. КРИВЫЕ В n-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть в -мерном евклидовом пространстве введены ортогональные декартовы координаты Каждую точку в можно задать в виде набора чисел Обозначим через единичные координатные орты. Тогда радиус-вектор точки можно записать в виде линейной комбинации ортов

Возьмем отрезок на вспомогательной оси параметров t.

Элементарной кривой в называется образ топологического отображения отрезка в евклидово пространство. Это значит, что между точками у и точками отрезка установлено взаимно однозначное соответствие, являющееся непрерывным и имеющее непрерывное обратное отображение. Координаты точки являются непрерывными функциями параметра Обозначим эти функции и запишем

Задание кривой с помощью задания координат как функций параметра называется параметрическим.

Сокращенно мы будем записывать кривую в параметрическом задании в векторном виде:

где векторная функция аргумента Для того чтобы не вводить новой буквы для обозначения, вместо мы часто будем писать Вектор-функция называется дифференцируемой, если дифференцируема каждая ее компонента. По определению

Кривая у называется регулярной класса (или аналитической), если существует такая ее параметризация что каждая функция является функцией класса регулярности (или аналитической) и вектор Если то кривая называется гладкой.

Так же, как в § 4, можно ввести определение полукасательной к кривой в точке соответствующей полуокрестности, и определение касательной прямой в этой точке. Гладкая кривая в каждой своей точке имеет касательную прямую, направляющим вектором которой является Приведенное в § 4 доказательство этого утверждения справедливо и для кривой в -мерном пространстве.

Дайна кривой определяется как верхняя грань длин ломаных, вписанных в кривую. Если существует длина кривой, то кривая называется спрямляемой. Так же, как для кривых в трехмерном пространстве, доказывается, что гладкая кривая спрямляема. Это доказательство использует векторные функции, представляющие кривые, и поэтому проводится одинаково как в трехмерном, так и в n-мерном пространствах. Длина гладкой кривой может быть

вычислена по формуле

Пусть на кривой выбрано направление, т.е. порядок следования точек. Введем на кривой естественный параметр, связанный с длиной дуги кривой. Выберем на кривой точку Эта точка будет соответствовать нулевому значению параметра Возьмем на кривой другую точку Если, двигаясь от точки к точке мы перемещаемся в положительном направлении, то точке поставим в соответствие значение параметра равное длине дуги Если направление от к отрицательно, то значение параметра положим равным Для простоты введенный так параметр будем обозначать той же буквой Из формулы (1) вытекает, что

Перейдем теперь к определению кривизн кривой в Здесь мы поступим иначе, чем в случае кривых в Обозначим единичный касательный вектор через Рассмотрим производную этого вектора по длине дуги т.е. по естественному параметру.

Модуль вектора назовем первой кривизной кривой, т.е. Если то единичный вектор, направленный по обозначим Более точно,

Рассмотрим производную - Этот вектор очевидно ортогонален к Спроектируем его на вектор пространство, ортогональное к . Длину проекции - на это пространство обозначим через а единичный вектор, идущий вдоль этой проекции - через Будем предполагать, что Тогда вектор определен однозначно. Можем записать

где а — некоторый неизвестный коэффициент. Найдем его.

Умножая (2) скалярно на получаем

Поэтому можем записать

Затем мы рассмотрим производную единичного вектора и поступим аналогичным образом: запишем - в виде суммы двух проекций — проекции на пространство, проведенное через уже определенные векторы и проекции на ортогональное ему пространство. Процесс построения векторов продолжим по индукции Вектор выберем таким образом, чтобы производная предыдущего вектора раскладывалась через векторы и новый единичный вектор ортогональный ко всем уже определенным векторам:

Вектор будет определен однозначно, если Оказывается, что здесь отличен от нуля лишь коэффициент и он равен т.е. вектор раскладывается через Действительно, умножим равенство (3) на :

Так как по построению - раскладывается через векторы

Запишем разложение производной вектора

Следовательно, Умножим теперь (3) скалярно на

Итак, имеет место формула

Процесс выбора векторов оборвется в том случае, когда-либо одна из кривизн окажется равной нулю, либо в том случае, когда число ортогональных друг другу векторов станет равным размерности пространства Производная последнего вектора коллинеарна Итак, запишем формулы Френе для кривой в

Если ввести символический вектор компонентами которого являются векторы и следующую кососимметрическую матрицу

то уравнения Френе можно записать кратко так:

Заметам, что при нашем построении векторов и кривизн все кривизны Но выбор последнего вектора можно сделать иначе, и это позволит нам определить последнюю кривизну со знаком. В для векторов определено векторное произведение, которое обозначим квадратными скобками Положим Тогда в качестве последней кривизны возьмем Тогда вид формул Френе не изменится. Так введенная кривизна может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а также может обращаться в нуль.

Значение введенных инвариантов определяется тем, что полностью, с точностью до движения, определяют кривую в пространстве.

Имеет место следующая

Теорема. Пусть заданы непрерывные функции параметра изменяющегося на отрезке причем больше нуля. Тогда в существует одна и только одна, с точностью до движения в пространстве, кривая регулярная класса кривизнами которой являются заданные функции

Рассмотрим систему уравнений Френе как линейю систему обыкновенных дифференциальных уравнений дня определения векторов Пусть заданы начальные условия, т.е. векторы По известной теореме из теории дифференциальных уравнений существует единственное решение этой системы. Тогда радиус-вектор кривой у получим, интегрируя

Зададим начальные условия так, чтобы т.е. базис векторов выберем ортонормированяым. Проверим, что в силу системы это условие будет соблюдаться при любом Введем функции и покажем, что удовлетворяют однородной системе уравнений. Найдем производную по от этих функций:

где — символ Кронекера. Покажем, что в правой часто этого уравнения на самом деле отсутствует. Рассмотрим четыре пары чисел:

Пусть хотя бы одна пара состоит из совпадающих индексов, например Тогда имеется и вторая пара из совпадающих индексов а две другие пары состоят из различных индексов. Заметим, что т.е. члены, не содержащие в правой часто уравнения (4), сокращаются. Аналогично проводим рассмотрение и в других случаях. Итак, можем записать линейную систему дифференциальных уравнений для

Так как при функции то, в силу теоремы единственности, единственным решением этой системы будет Следовательно, ортонормированный базис пространства, причем, в силу определения кривой у, вектор ее единичный касательный вектор, длина дуги. Так как вектор-функции удовлетворяют уравнениям Френе, то - естественный репер кривой, а функции ее кривизны.

Приведенное выше определение кривизн кривой в не позволяет сразу найти их. Мы установим формулы для их вычисления, если кривая задана в общей параметризации. Прежде всего вспомним, что кривизна к и кручение к кривой у в вычисляются по формулам

По аналогии с векторным произведением в мы определим простой поливектор. Пусть в заданы к векторой Компонентами простого поливектора, построенного на этих векторах, называются числа

Простой поливектор, как и векторное произведение в будем обозначать квадратными скобками: или одной буквой и т.п. Для двух поливекторов определим их

скалярное произведение и модуль поливектора:

где суммирование производится по всем различным наборам

Отметим следующие простые свойства поливектора:

1) если среди векторов имеются два коллинеарных, то поливектор

2) если то действительные числа;

3) при перемене местами двух соседних векторов поливектор меняет знак

4) скалярное произведение двух простых поливекторов может быть вычислено с помощью скалярных произведений векторов по формуле

Найдем сначала выражения кривизн в естественной параметризации. Используя формулы Френе, находим

где в каждой производной точками заменена линейная комбинация векторов Запишем выражение бивектора, построенного наг

По формуле (5) найдем квадрат модуля бивектора

Следовательно, Если кривая задана в виде то

Поэтому для вычисления кривизны имеем следующую формулу:

По виду это выражение совпадает с выражением для кривизны кривой в трехмерном пространстве. Далее найдем формулу для Имеем

Поэтому

Найдем теперь поливектор, построенньш на векторах

Используя формулу для скалярного произведения поливекторов (5), находим, что Модуль поливектора обозначим Имеем

Пусть Рассмотрим произведение

Следовательно, кривизна выражается через величины по формуле

Перейдем теперь к произвольной параметризации Легко видеть, что имеют место соотношения

Поэтому кривизна кривой в общей параметризации имеет вид

Последнюю кривизну как мы знаем, можно определять со знаком. Заметим, что поливектор векторов в имеет одну компоненту — определитель матрицы, построенной по координатам этих векторов, т.е. это смешанное произведение этих векторов. Поэтому для нахождения кривизны принимающей в общем случае значения любого знака, можно использовать формулу

Здесь круглые скобки обозначают смешанное произведение в

Задачи

(см. скан)