§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

Пусть числовой параметр изменяется на интервале Если каждому числу поставлен в соответствие вектор то мы будем говорить, что на интервале определена векторная функция с аргументом (вектор-функция ). Задание векторной функции равносильно заданию трех числовых функций Используя координаты, можем записать краткая запись — во многах случаях более удобна. Для векторной функции можно определить многие понятия, которые известны для обычных функций.

Прежде всего можно определить понятие предела векторной функции при Некоторый вектор назьюается пределом векторной функции при если длина вектора о стремится к нулю при . В этом случае записываем

Очевидно, векторная функция имеет предел тогда и только тогда, когда каждая функция имеет предел при

Векторная функция называется непрерывной в точке если равен значению функции в этой точке:

Предел векторной функции обладает теми же свойствами, что и предел обычной функции. Производной векторной функции называется векторная функция, получаемая дифференцированием каждой компоненты векторной функции

Но можно дать определение производной векторной функции, совершенно аналогичное определению производной обычной функции. Именно, производной векторной функции

называется

Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой. Операция дифференцирования векторных функций обладает теми же свойствами, что и дифференцирование обычных функций. Именно, производная суммы дифференцируемых векторных функций равна сумме производных этих функций:

Если обычная дифференцируемая функция, то

т.е. это правило дифференцирования точно такое же, как если бы была обычной функцией. Производная от скалярного, векторного и смешанного произведений вычисляется последовательным дифференцированием каждого из сомножителей. Если векторные функции, то

Докажем, например, правило дифференцирования векторного произведения:

Если то вектор-функция есть постоянный ректор:

Вторая производная вектор-функции есть производная от вектор-функции

Если вектор-функция имеет несколько производных, то можем записать ее разложение Тейлора. Для этого мы запишем

разложение Тейлора для каждой компоненты вектора

Эту систему трех уравнений можно записать в векторном виде:

где бесконечно малый вектор, модуль которого является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем при Отметим одно отличие разложения Тейлора вектор-функции от разложения обычной функции. Для обычной функции качестве остаточного члена в форме Маклорена берется значение производной некоторой промежуточной точке умноженной на т. е.

Для вектор-функции такое выражение для остаточного бесконечно малого члена уже не имеет места, так как для каждой компоненты такая промежуточная точка своя. Но для использования разложения Тейлора достаточно знать, что остаточный член является вектором бесконечно малой длины более высокого порядка малости, чем

Если задана непрерывная вектор-функция то интеграл от нее определяется как вектор, компоненты которого являются интегралами от компонент вектора

Отсюда вытекают известные свойства интеграла:

Отметим новые свойства интеграла. Если а - постоянный вектор, то в скалярном или в векторном произведениях его можно

вынести за знак интеграла:

Докажем, например, вторую формулу. Запишем первую компоненту вектора

Она, очевидно, равна

где — компоненты вектора а. В правой части этого равенства стоит первая компонента вектора

Аналогичные соотношения получим и для двух других компонент, что и доказывает утверждение.