ПРЕДИСЛОВИЕ

Дифференциальная геометрия — разветвленная и глубокая область математики, значение которой со временем возрастает, начинается с теории кривых. Это ее исток. Именно в теории кривых впервые в дифференциальной геометрии даются точные определения и понятия, вводятся инвариантные геометрические характеристики поведения кривых, именно здесь вырабатывается первоначальная геометрическая интуиция, которая затем развивается и углубляется при изучении поверхностей и подмногообразий.

По специальным кривым, в основном плоским, на русском языке имеются хорошие и полные монографии. Однако в них не излагаются общие вопросы теории кривых. В общем же курсе дифференциальной геометрии теория кривых обычно проходится за недостатком времени довольно бегло, и в стороне остаются многие интересные и важные темы.

В этой книге сначала мы излагаем общую теорию кривых на достаточно простом и доступном, как нам кажется, языке и затем переходим к изложению свойств "в целом" кривых в евклидовом пространстве, которые ранее в основном были изложены лишь в журнальных статьях. Особое внимание уделяется свойствам замкнутых кривых. Рассматриваются кривые с локально выпуклой проекцией, впервые устанавливается алгоритм получения условий замкнутосш -звенной ломаной через длины звеньев и аналоги кривизны и кручения, дается доказательство теоремы Фенхеля об интегральной кривизне замкнутой кривой и ее обобщения Дж. Фери и Дж. Милнором для заузленной кривой, рассматриваются задача Ш. Делоне о соединении двух точек кривой экстремальной длины и постоянной кривизны, задача о восстановлении замкнутой кривой по сферической индикатрисе касательных, изучаются зацепления и узлы, кривые в -мерном пространстве.

Кривые издавна широко применяются в математике и технике, поэтому, хотя это и одномерные объекты, знание и разработка теории кривых и в настоящее время актуальны.