§ 30. УЗЛЫ

Замкнутую кривую у в без самопересечений будем назьюать узлом. Узлы бывают ручные и дикие. Если узел можно непрерывно без самопересечений продеформировать в замкнутую кривую, образованную конечным числом отрезков, то такой узел называют

ручным. Известна следующая теорема, которую приведем без доказательства: если то - ручной узел. Далее мы будем рассматривать только ручные узлы.

Узел у называется тривиальным, если непрерывной деформацией без самопересечений можно перевести его в обычную окружность. В топологии ставится вопрос о том, как отличить нетривиальный узел от тривиального. И далее, как классифицировать и описать все возможные узлы?

Для того чтобы получить ответ на первый вопрос, рассмотрим группу узла — фундаментальную группу дополнительной к узлу области Эта группа была введена Дэном как частный случай группы Пуанкаре. Она строится следующим образом. Возьмем какую-нибудь точку О вне узла. Рассмотрим множество замкнутых ориентированных кривых с началом и концом в точке О, не пересекающих . Две кривые называются эквивалентными, если их можно непрерьюно продеформировать друг в друга, не пересекая у. Определяемый ими класс эквивалентных кривых обозначим Это будет элемент группы узла. На классах эквивалентных кривых вводится операция умножения. Именно, если в выбрать по представителю то в качестве надо взять класс кривых, эквивалентных кривой, получаемой про беганием сначала кривой и затем . В качестве обратного элемента к элементу берется класс кривых, получаемых обращением направления обхода кривых класса Множество классов эквивалентных кривых не пересекающих , с указанной операцией умножения образует группу узла,

Рис. 39

Рис. 40

В общем случае эта группа не коммутативна, Группу узла будем обозначать или просто

Рассмотрим, как выбираются образующие группы Спроектируем узел на горизонтальную плоскость. Можем считать, что точки самопересечения проекции только двойные. Дугу кривой у над двойной точкой, расположенную выше, в проекции изобразим кривой без разрыва, а дугу, проходящую ниже, изобразим с разрывом

(рис. 39). Используя такое соглашение, можем считать, что узел лежит в горизонтальной плоскости. Зададим ориентацию у. Разобьем у на ориентированные дуги с выбранной ориентацией у такие, что начало дуги выходит из-под другой ветви и в конце она входит под другую ветвь, а в промежуточных точках дуги никакая ветвь не накрывает дугу Возьмем точку О над горизонтальной плоскостью. Для каждой дуги из точки О проведем незаузленную петлю охватывающую дугу и ориентированную так, что если через петлю провести поверхность, то индекс пересечения с этой поверхностью равен Иначе говоря, ориентации на и на согласованы по правилу винта (рис. 40).

Любая петля с базисной точкой О гомотопна в области произведению путей Действительно, можем считать, что состоит из конечного числа прямолинейных отрезков. Пусть первая, последняя точки пересечения с горизонтальной плоскостью. Можем считать, что дуга петли лежит в этой плоскости, лишь слегка приподнимаясь или опускаясь в окрестности пересечения ее проекции с дугами Разобьем дугу на куски точками так, что в каждом отрезке имеется только одно пересечение его проекции с какой-либо дугой Соединим точки с отрезками прямых и определим петли

где дуги отрезки прямых. Тогда петля может быть записана как произведение петель , т.е.

Рассмотрим отдельно петлю Пусть соответствующий ей отрезок пересекает дугу Если дуга лежит ниже то петля стягивается в к точке О. Если же расположена ниже то петля гомотопна либо либо Итак, гомотопно произведению

Поэтому класс эквивалентных кривых, определяемый петлей можем взять в качестве образующей группы узла. Мы будем обозначать его той же буквой Для введенных образующих имеется некоторое число соотношений. Рассмотрим двойную точку проекции узла. Через каждую двойную точку проходат одна ветвь проекции без разрыва и одна ветвь с разрывом. Поэтому если описать вокруг двойной точки маленькую окружность то в нее войдет и из нее выйдет некоторая дуга войдет дуга и выйдет дуга Получится картина, изображенная на рис. 41 или на рис. 42.

Будем считать, что окружность расположена под горизонтальной плоскостью и на ней задан обход по часовой стрелке. Разобьем

ее точками на четыре сектора так, чтобы через каждую дугу проходила только одна дуга узла у. Соединим точки . Тогда можем записать следующие петли:

Рассмотрим произведение петель

Так как окружность лежит целиком под горизонтальной плоскостью, то ее можно стянуть в области к точке А х и поэтому всю петлю (1) можно стянуть к точке О.

Рис. 41

Рис. 42

Следовательно, имеет место соотношение

Такие соотношения записываются для каждой двойной точки. Правило их получения следующее: будем обходить двойную точку по окружности по направлению движения часовой стрелки и запишем слово из образующих, записывая их последовательно, слева направо При этом образующая берется в степени если соответствующая дуга входит в окружность, и в степени — 1, если дуга выходит из окружности.

Полученные соотношения показьюают, что если группа коммутативна, то имеется только одна образующая.

Если кривая у не заузлена, группа узла изоморфна группе целых чисел в которой групповой операцией является сложение, т.е. каждая замкнутая кривая с началом и концом в точке О эквивалентна кривой, обвивающей у некоторое целое число раз. Имеет место и обратное утверждение, доказательство которого довольно сложно и основано на лемме Дэна [25, 29]. Прямое и обратное утверждения объединим в следующую теорему.

Теорема. Узел у тривиален тогда и только тогда, когда его группа изоморфна группе целых чисел.

Таким образом, группа узла дает возможность отличить тривиальный узел от нетривиального. Однако, чтобы различить между

собой нетривиальные узлы, одной этой группы недостаточно. Существуют различные узлы с изоморфными группами узлов. Один из таких узлов, предложенный Фоксом, изображен на рис. 43 и 44. Найдем группы этих узлов. Пусть образующие групп этих узлов, соответствующие дугам Запишем шесть соотношений для образующих узла, которые получаются при обходе каждой двойной точки на рис. 43:

Из первого и третьего соотношений системы (2) находим

Если подставить в первое соотношение (2), то получим уравнение

которое переписывается в виде т.е. Тогда легко выразить из соотношений (2) и из (3) через Обозначим . Выражения имеют вид

Рис. 43

Рис. 44

Итак, группа узла (см. рис. 43) определяется тремя образующими а, х, у, которые удовлетворяют соотношениям

Рассмотрим узел, изображенный на рис. 44. Правая часть его имеет тот же вид, что и у первого узла. Поэтому первые три соотношения имеют вид системы (2). Остальные три соотношения следующие:

Из системы (2) опять следует из системы (4) выразим через этом случае обозначим Имеем соотношения

Группа второго узла определяется образующими а, х, у, которые удовлетворяют тем же соотношениям, что и для первого узла. Следовательно, эти группы изоморфны.

Алгебраическая классификация узлов была получена в 1974 г. в работах [26, 27]. Удивительно, но, оказывается, для того чтобы два узла различить между собой, их надо усложнить - привязать к каждому некоторый стандартный узел (операцию привязывания обозначим затем по каждому полученному узлу построить пару обмоток — узлов лежащих на трубке вокруг узла и взять группы этих узлов Стандартный узел узел Листинга, изображенный первым на рис. 52.

Поясним сказанное более точными определениями. Без ограничения общности можно считать, что оба узла расположены в сфере Два узла называются эквивалентными, или одного и того же типа, если существует гомеоморфизм , переводящий

Операция привязывания или составления композиции двух узлов означает построение нового узла, который получается следующим образом. Расположим узлы по разные стороны от некоторой сферы Пусть они пересекаются с по общему отрезку ориентация которого на и на противоположна. Тогда композицией есть узел Поясним термин "обмотка узла". Пусть трубчатая окрестность некоторого узла ее граница. Пусть — замкнутые кривые на такие, что имеет коэффициент зацепления с равный а X может быть переведено в деформацией без самопересечений. Обмоткой назьюается линейная комбинация с целыми коэффициентами

В качестве возьмем узел Рассмотрим две обмотки Классифицирующей группой является группа

где звездочка обозначает свободное произведение групп. При этом свободным произведением группы А на группу В называется группа, множество образующих которой состоит из образующих

групп , а система определяющих соотношений состоит из объединения систем соотношений групп Имеет место

Теорема. Если два узла в сфере то группы изоморфны тогда и только тогдау когда имеют один и тот же тип.

Рассмотрим некоторые другие характеристики узлов. Имеет место

Теорема. Каждый узел ограничивает ориентируемую поверхность.

Впервые эта теорема была доказана в работе Ф. Франкля и Л.С. Понтрягина [30]. Другсе доказательство было предложено Зейфертом, который широко использовал построенную поверхность в своих исследованиях по теории узлов. Строится поверхность способом Зейферта следующим образом. Спроектируем узел на горизонтальную плоскость. Пусть имеется двойных точек проекции. Тогда на кривой у имеется точек которые проектируются в двойные точки. Эти точки разобьют у на отрезки. Пары точек проектирующиеся в одну, соединим вертикальными отрезками. Выберем ориентацию кривой у. Из отрезков кривой и вертикальных отрезков образуем "окружности" Зейферта. Пойдем по отрезку в выбранном на у направлении; дойдя до конечной точки, пойдем по вертикальному отрезку до лежащей на нем точки узла затем по отрезку , выходящему из в выбранном на направлении. Будем продолжать этот обход, пока не придем в начальную точку. Пройденная замкнутая кривая, кроме вертикальных отрезков, однозначно проектируется на плоскость. Если некоторый отрезок не попал в окружность, то начнем с этого отрезка новый обход. Получим новую окружность и т.д. Пусть в результате мы получили окружностей. На каждую окружность натянем поверхность, гомеоморфную кругу так, чтобы они между собой не пересекались. Каждый отрезок узла войдет в некоторую окружность только один раз, а каждый вертикальный отрезок войдет в две окружности, причем они будут пробегаться в противоположных направлениях. Склеим круги по общим вертикальным отрезкам. Получим поверхность с границей у. Поверхность ориентируема, так как на скленных отрезках прилежащими кругами индуцируются противоположные ориентации.

Из топологии поверхностей известно, что каждая ориентируемая поверхность с одной компонентой границы гомеоморфна сфере, к которой приклеено ручек и из которой выброшен один круг. Число ручек поверхности называется родом поверхности.

На узел у можно натянуть поверхности различного рода. Наименьший возможный род поверхности, натянутой на , называется родом узла.