§ 7. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ КРИВОЙ

Определение кривизны и кручения кривой, а также вывод формул для их вычисления проводится сходным образом. Дадим определение кривизны кривой. Пусть точка на кривой точка на у, близкая к (рис. 4).

Рис. 4

Пусть угол между касательными прямыми в точках и пусть длина дуги кривой у. Кривизна к кривой у в точке назьюается

Установим теперь теорему, которая позволяет вычислять кривизну с помощью производных радиус-вектора кривой. Пусть естественная параметризация кривой.

Теорем а. Дважды дифференцируемая кривая имеет в каждой точке кривизну которая вычисляется по формуле

Вектор будем называть вектором кривизны кривой. Его длина равна кривизне к кривой. Единичный вектор называется главной нормалью. Он определен в тех точках, где

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть точкам отвечают соответственно значения естественного параметра Пусть единичные касательные векторы к кривой в этих точках. Угол есть угол между Вектор переместим параллельно, так чтобы его начало совпадало с точкой Концы векторов обозначим через Соединим точки отрезком прямой. Треугольник равнобедренный, так как векторы единичные. Из точки на сторону опустим высоту. Она будет также и биссектрисой угла Пусть основание этой высоты. Из прямоугольного треугольника находим

Разделим правую и левую части этого равенства на и перейдем к пределу при Согласно нашему обозначению Так как по условию теоремы у - дважды дифференцируемая кривая, то существует

где второе равенство записано на основании (1). Теорема доказана.

Определим теперь кручение кривой. Так как единичный вектор, то вектор кривизны следовательно, главная нормаль ортогональны к касательному вектору Векторное произведение называется бинормалью кривой. Будем обозначать бинормаль через 0, т.е. Бинормаль определена в тех точках кривой, в которых определена главная нормаль т.е. в точках с кривизной

Пусть угол между бинормалями и в бесконечно близких точках (иначе говоря, угол между

соприкасающимися плоскостями) (рис. 5). Но в этом случае угол будем брать со знаком, выбор которого произведем так. В нормальной плоскости кривой в точке угол между двумя лучами, выходящими из точки будем отсчитывать согласно ориентации в этой плоскости, задаваемой вектором направление отсчета угла от к положительное, а противоположное — отрицательно. Перенесем вектор параллельно так, чтобы его начало совпадало с точкой и спроектируем его на нормальную плоскость. Проекцию обозначим через Если при бесконечно малый угол в нормальной плоскости от положительный, то угол берем положительным. Если угол от отрицательный, то берем отрицательным (см. рис. 5). При знак берем противоположным знаку при Кручением к кривой в точке называется

Рис. 5

Теорема. Трижды дифференцируемая кривая в каждой точке с отличной от нуля кривизной имеет кручение , вычисляемое по формуле

Концы векторов и , отложенных от точки обозначим Треугольник равнобедренный. Из точки на сторону опустим высоту Из прямоугольного треугольника находим

Правую и левую части этого равенства разделим на и перейдем к пределу при Получаем следующую формулу для абсолютной величины кручения:

т.е. Рассмотрим вектор Имеем

Так как по условию теоремы трижды дифференцируемая вектор-функция, то к - дифференцируемая функция и дифференцируемая вектор-функция. По правилу дифференцирования векторного произведения получаем

Так как правая часть равенства представляет собой сумму двух векторных произведений, каждое из которых имеет сомножитель то ортогонален к Вектор единичный, поэтому ортогонален к 0. Следовательно, вектор коллинеарен главной нормали Так как длина равна где знак или - пока не определен. По формуле Тейлора можем записать

Проекция на нормальную плоскость в точке т.е. с точностью до бесконечно малых более высокого порядка будет равна Возьмем точку так, чтобы Угол отсчитываемый от будет положительным, а вместе с ним если имеет направление, противоположное и этот угол будет отрицательным, если имеет то же направление, что и Поэтому

Докажем формулу для нахождения кручения. Умножая (2) на получаем

Заметим, что знак кручения к не зависит от выбора направления отсчета длины дуги Действительно, если заменить его на противоположное, то знак к не изменится, так как в формулу (3) входит четное число дифференцирований по

Полезно знать формулы для определения к и к в том случае, когда кривая задана в произвольной параметризации:

Длина дуги при этом является функцией параметра По правилу дифференцирования сложной функции можем записать производные

Так как единичный вектор, то из первого равенства следует . В силу ортогональности векторов можем записать

Итак, при произвольной параметризации кривой кривизна к вычисляется по формуле

Заметим для облегчения запоминания, что степень модуля в знаменателе равна числу штрихов производных в числителе этой формулы. Это обеспечивает инвариантность выражения при изменении параметризации. В координатной форме доказанная формула имеет вид

Найдем выражение для кручения k. Так как

где во втором сомножителе смешанного произведения точками заменен вектор, коллинеарный а в третьем сомножителе точками заменены векторы, коллинеарные линейной комбинации Смешанное произведение обладает свойством аддитивности по каждому сомножителю. Например

Кроме того, смешанное произведение, у которого два сомножителя — коллинеарные векторы, равно нулю. Сначала смешанное произведение в (4) мы разложим, воспользовавшись разложением второго сомножителя, который является суммой и вектора, коллинеарного Тогда найдем, что оно равно

Затем запишем разложение по третьему сомножителю. Воспользуемся выражением для и соотношением Получим, что для произвольно параметризованной кривой ее кручение к вычисляется по формуле

Кривизна плоской кривой. Плоская кривая является частным случаем пространственной кривой, поэтому для нее применима формула кривизны, установленная выше. Но для плоской кривой эта формула приобретает более простой вид. Пусть кривая лежит в плоскости Тогда Следовательно,

Особенно простой вид имеет выражение для если в качестве параметра взять Тогда Значит,

Для плоской кривой можно определить кривизну со знаком.

Будем обозначать ее той же буквой случае необходимости укажем, какую кривизну мы имеем в виду. Пусть единичный касательный вектор к гладкой кривой. Пусть единичный вектор, ортогональный к плоскости кривой. Вектор единичный, лежит в плоскости кривой и ортогонален к Он может либо совпадать с вектором главной нормали либо отличаться от него знаком (рис. 6). При движении точки вдоль кривой вектор изменяется непрерывно. Тогда кривизной к со знаком будем называть коэффициент к в формуле

Рис. 6

Это число может отличаться от ранее введенной кривизны лишь знаком. При движении вдоль кривой направление ее выпуклостей может изменяться. Введенная кривизна позволяет различать эти изменения. Для ее вычисления вдоль всей кривой можно воспользоваться одной из двух формул:

Установим выражение кривизны через производную угла а между касательной и каким-либо фиксированным направлением в плоскости. Примем это направление за положительное направление оси х. Пусть в качестве параметра в формулах (5) взята длина дуги Вектор является единичным касательным вектором Следовательно, его компоненты имеют вид

Находим производные:

Подставив эти выражения в (5), получим

В качестве упражнения найдем кривизну окружности радиуса Пусть угол между радиус-вектором точки окружности и положительным направлением оси х. Тогда если направление отсчета на окружности взято против часовой стрелки, то Кроме того, для окружности Следовательно, если воспользоваться формулой то

Найдем кривизну кривой у на плоскости, заданной уравнением Вектор является нормалью к этой линии в точке Единичный вектор нормали будет равен

где Поэтому единичный вектор касательный к этой кривой, будет равен

где дифференцирование вдоль кривой у. С помощью формулы находим выражение для кривизны кривой

Производную по длине дуги можно найти по правилу дифференцирования сложной функции:

Выражение векторов очевидно, следующее:

Итак, можем записать

Последнее слагаемое в правой части равно нулю, так как вдоль у. Подставляя в первое слагаемое выражения компонент вектора находим

Непосредственным вычислением легко найти, что выражение в правой части этой формулы можно записать в дивергентном виде:

Задачи

(см. скан)

(см. скан)