§ 33. КРИВЫЕ В n-МЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ С ПОСТОЯННЫМИ КРИВИЗНАМИ

Используем уравнения Френе для определения кривых постоянными кривизнами . В трехмерном евклидовом пространстве такими кривыми являются окружности и спирали. В -мерном пространстве такие кривые изучались в [39-41]. Будем предполагать далее, что все кривизны Запишем уравнения Френе в следующем виде:

Это однородная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Метод решения такой системы состоит в сведении ее к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, но порядка. Символ дифференцирования — обозначим Систему (1) запишем так:

где многочлен относительно имеющий постоянные коэффициенты. Такие системы хорошо изучены в теории дифференциальных уравнений. Обозначим через детерминант матрицы . Уравнение, к которому сводится система, имеет простой вид (см. [38])

В частности, этому уравнению удовлетворяет вектор-функция Многочлен является характеристическим многочленом

кососимметрической матрицы А, введенной в предыдущем параграфе, но вместо обычно применяемого обозначения X здесь использовано Распишем по степеням

Коэффициент является суммой главных миноров порядка матрицы А:

Так как определитель нечетно мерной кососимметрической матрицы равен нулю, то при нечетном . А при четном нетрудно найти

Например,

Поэтому уравнение (2) для определения записывается в таком виде:

Например, при дифференциальное уравнение для определения имеет вид

Это уравнение также легко получить непосредственно из системы (1), вычисляя четыре первых производных Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид

Находим

Следовательно, корни характеристического уравнения чисто мнимые и различные. Обозначим их Решение уравнения для имеет следующий общий вид: 2

где постоянные векторы в . Интегрируя выражение по получим радиус-вектор искомой кривой. Кривая лежит в ограниченной части пространства. Она замкнута тогда и только тогда, когда тригонометрические функции, входящие в ее параметрическое задание, имеют общий период, т.е. когда отношение рациональное число, где целые числа. Условие замкнутости в терминах кривизн имеет вид

Вернемся к общему случаю. Нетрудно показать, что собственные числа кососимметрической матрицы А чисто мнимые. Действительно, пусть для некоторого собственного вектора вообще говоря комплексного, выполнено уравнение

Обозначим через х вектор, компоненты которого комплексно сопряжены с компонентами Умножая уравнение (6) слева на х, получаем

Но каждое число либо чисто мнимое, либо нуль. Поэтому и собственное число X либо чисто мнимое, либо нуль. Так как при четном все числа то при четном характеристическое уравнение для (4) имеет только чисто мнимые корни, а при нечетном характеристическое уравнение для (5) имеет один нулевой корень, а остальные чисто мнимые.

Докажем, что при условии все корни различные. Матрица А относится к классу якобиевых матриц. Обозначим через определитель углового минора порядка матрицы Для последовательности многочленов легко найти рекуррентную формулу

В частности,

Многочлен является некоторым многочленом размерности от то же время где многочлен размерности от Рассмотрим последовательность многочленов от

Для этой последовательности имеем рекуррентные формулы

Указанная, последовательность многочленов аналогична последовательности многочленов Штурма. Многочлены имеют ровно отрицательных корней, может быть, кратных. С помощью рекуррентных соотношений по индукции доказьюается, что: 1) между каждыми двумя соседними корнями многочлена из этой последовательности лежит ровно одан корень предыдущего многочлена и одан кореньлоследующего; 2) значения многочлена в двух соседних корнях предшествующего или последующего многочлена различны.

Отсюда вытекает, что корни характеристического многочлена матрицы А различны. Пусть Обозначим эти корни При имеется еще нулевой корень. Лишь в некоторых случаях для них можно указать точные значения. Например, если то все различные собственные значения содержатся «в системе

Общее решение уравнений (4) и (5) можно записать так:

где постоянные векторы в Дифференцируя получаем Уравнение кривой получается интегрированием по Из условий и различия вытекает, что векторы взаимно ортогональны и одной длины. Подходящим выбором осей координат, направив первый координатный орт по второй и т.д., уравнения кривой можем записать

в виде

Так как единичный вектор, то постоянные должны удовлетворять соотношениям

Таким образом, вид кривых с постоянными кривизнами в четномерных и нечетномерных пространствах существенно различается. В четномерном пространстве кривая ограничена, в нечетномерном она уходит по одному направлению в бесконечность. Если кривая в четномерном пространстве имеет все отношения равные рациональным числам, то она замкнута.

Близкий обширный класс образуют кривые, у которых каждая компонента записывается как тригонометрический полином от некоторого параметра Радиус-вектор такой кривой можно записать в виде

где постоянные комплексные -мерные векторы, причем Здесь черта означает комплексное сопряжение. Эти кривые заведомо замкнуты. Интересным является вопрос о том, какие связи существуют между кривизнами таких кривых. Простой поливектор можно записать так:

где коэффициентами служат поливекторы

Используя формулу (7) § 32, получим, что является отношением полиномов от некоторых степеней. Отметим один исключительный случай: параметр является длиной дуги Тогда

векторы должны удовлетворять системе уравнений

Ее можно рассматривать как систему алгебраических уравнений для компонент векторов которые обозначим через система уравнений определяет некоторое алгебраическое многообразие. По формуле (6) § 32 имеем

т.е. эти функции являются тригонометрическими полиномами. Коэффициенты этих полиномов — рациональные функции от координат т.е. они являются рациональными функциями на указанном алгебраическом многообразии. В алгебраической геометрии известна теорема: если алгебраическое многообразие имеет размерность а, то а рациональных функций на многообразии будут алгебраически зависимы. Это означает, что коэффициенты связаны между собой некоторым числом алгебраических уравнений.

В заключение рассмотрим вопросы топологии кривых в при Оказывается, в этом случае все замкнутые кривые с топологической точки зрения устроены просто — они гомотопны обычной окружности. Это означает, что при нетривиальные узлы отсутствуют. Кроме того, две любые непересекающиеся замкнутые кривые можно непрерывной деформацией без пересечений перевести в две непересекающиеся окружности, т.е. отсутствуют и зацепления. Рассмотрим, например, в трехмерном пространстве две зацепленные окружности Вторую окружность передвинем в окружность движением по четвертой координате. Затем передвинем ее в окружность наконец, движением по четвертой координате вернем обратно в пространство Получим в нем две незацепленные окружности Аналогичным образом можно показать и отсутствие нетривиальных узлов.

Между тем с метрической точки зрения кривые в многомерном евклидовом пространстве устроены более слояшо, чем в трехмерном. Эта сложность не схватывается гомотопической теорией. Возможно, для того чтобы связать метрические свойства кривой с топологией, надо рассматривать трехмерные замкнутые односвязные многообразия, содержащие данную кривую, и затем рассматривать кривую как узел в таком многообразии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)