Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 23. УСЛОВИЕ ЗАМКНУТОСТИ КРИВОЙРассмотрим плоскую кривую
Запишем касательный вектор
где
Поэтому
Если обхода кривой угол а изменяется на число, кратное
где
Подставив в эти уравнения выражение а через интеграл от кривизны, запишем условия замкнутости плоской кривой:
Наоборот, если они выполнены, то кривая Н. В. Ефимов, В. Фенхель и другие геометры независимо ставили задачу определения необходимого и достаточного условия замкнутости пространственной кривой, выраженного через ее кривизну
Если
Если известны функции некоторая известная функция от
где Пусть
Введем вектор
По условию теоремы
Дифференцируя (6) и используя (7), получаем линейное дифференциальное уравнение для
Следовательно,
где
где С — постоянный вектор. Так как — единичный вектор, то С ортогонален
Используя (9), (10) и уравнение (6), можем найти выражение для
Следовательно,
Так как
где
т.е. находим, что
Положим
получим условия (2) - (4). Рассмотрим аналог задачи о замкнутой кривой для Пусть ломанная линия Рассмотрим теперь замкнутую
число которых равно
на Ответ первым способом можно получить довольно просто. Запишем векторное уравнение замкнутости кривой
Пусть в
Так как
Углы между двумя соседними звеньями определяются через
Углы между бинормалями также определяются через переменные
Если заданы величины
был отличен от нуля, например минор первых трех столбцов, то можем выразить
может рассматриваться как система необходимых и достаточных условий замкнутости кривой на параметры, через которые выражаются все длины
Рассмотрим симметрическую Лемма. Все элементы матрицы А выражаются через углы Поэтому уравнения (15) являются условиями на
По этим формулам элементы первой линии в матрице А, параллельной главной диагонали, и Рассмотрим четырехзвенную замкнутую ломаную. В системе (15) положим
Из этих уравнений можем найти для углов
Третье уравнение для углов и
где звездочка обозначает симметричную часть. Для того чтобы получить это условие, векторное уравнение (14) умножим скалярно на четыре вектора
Так как все величины
Они независимы — Рассмотрим пятизвенную ломаную. Запишем симметрическую матрицу А:
Элементы первой линии, параллельной главной диагонали, и
Таким образом дня пятизвенной ломаной между десятью элементами
В эти уравнения надо подставить выражения записанные через уравнение, Для шестизвенной ломаной через углы и
Относительно искомых величин
Опять замечаем, что эти уравнения независимы, так как Изложенный метод получения условий применим и для Установим сформулированную выше лемму. Мы уже отмечали, что элементы первой и второй линий матрицы А, а также элементы
Затем аналогичным способом определяем элементы четвертой линии и т. д., при этом все время можно брать определители, не содержащие элементы После того как все элементы матрицы
Эти уравнения независимы, так как Теорема. Выполнение системы уравнений (15), (21), в которой все коэффициенты
|
1 |
Оглавление
|