§ 23. УСЛОВИЕ ЗАМКНУТОСТИ КРИВОЙ

Рассмотрим плоскую кривую Пусть кривизна ее является непрерывной периодической функцией с некоторым периодом Какому условию должна удовлетворять кривизна для того чтобы кривая при изменении на отрезке была замкнутой? Имеем

Запишем касательный вектор

где - угол, образуемый касательным вектором с осью х. Для кривизны плоской линии, понимаемой со знаком, можно записать формулу

Поэтому

Если плоская замкнутая гладкая кривая длины то после

обхода кривой угол а изменяется на число, кратное Поэтому для замкнутой кривой

где целое число. Интегрируя выражение получим

Подставив в эти уравнения выражение а через интеграл от кривизны, запишем условия замкнутости плоской кривой:

Наоборот, если они выполнены, то кривая замкнута и гладкая.

Н. В. Ефимов, В. Фенхель и другие геометры независимо ставили задачу определения необходимого и достаточного условия замкнутости пространственной кривой, выраженного через ее кривизну и кручение которые заданы как функции длины дуги Эту задачу Фенхель называет основной задачей теории замкнутых кривых. Можно указать не эффективный способ решения этой задачи, состоящий в том, что задача определения кривой по кривизне и кручению сводится к решению одного интегрального уравнения Вольтерра. По формуле Неймана решение этого интегрального уравнения можно записать в виде бесконечного ряда, каждый член которого определяется по заданным функциям Эффективное условие замкнутости можно записать лишь для некоторых классов функций Рассмотрим один такой класс. Вместо длины дуги введем другой параметр

Если длина кривой то положим Будем предполагать, что Введем угол у по формулам

Если известны функции и то кривизна и кручение будут известными функциями длийы дуги и наоборот, причем мы будем предполагать, что к со знаком. Имеет место Теорема. Пусть кривизна и кручение кривой такие, что линейная функция от

некоторая известная функция от Для того чтобы была замкнутой кривой длины необходимо и достаточно, чтобы нашлись целые числа такие, и чтобы выполнялись интегральные соотношения

где

Пусть натуральный репер кривой. Уравнения Френе, очевидно, можно переписать в таком виде:

Введем вектор Используя уравнения Френе (5), получаем

По условию теоремы Далее, с помощью (5) находим

Дифференцируя (6) и используя (7), получаем линейное дифференциальное уравнение для

Следовательно,

где постоянные векторы. Так как, согласно уравнениям единичный вектор, то единичные взаимно ортогональные векторы. Интегрируя (8), получаем

где С — постоянный вектор. Так как — единичный вектор, то С ортогонален Дифференцируя (8), находим

Используя (9), (10) и уравнение (6), можем найти выражение для Таким образом, для определения и мы имеем систему уравнений, которая дается уравнением (8) и выражением

Следовательно,

Так как периодическая вектор-функция, то ее значения при совпадают. Из уравнения (8) находим

где целое число. С другой стороны, так как периодические функции от то

т.е. где целое число. С помощью (12) и (13)

находим, что

Положим Уравнение (12) дает условие (1). Так как векторы взаимно ортогональные, то интегрируя коэффициенты при них в разложении (11) и используя условие замкнутости

получим условия (2) - (4).

Рассмотрим аналог задачи о замкнутой кривой для -звенной пространственной ломаной. Решение ее может иметь значение как для геометрии, так и для теории механизмов и машин. Изложим результаты работы [49].

Пусть ломанная линия составлена из прямолинейных отрезков Аналогами кривизны и кручения регулярной кривой являются две последовательности углов определенные в § 14. Пусть - единичные векторы, направленные по отрезкам Тогда Ориентированная плоскость, проходящая через векторы определяет единичную нормаль к ней: аналог бинормали регулярной кривой. Угол определяется как угол между единичными векторами при этом ориентация в плоскости векторов задается ортогональным ей вектором а угол отсчитывается в этой плоскости в положительном направлении согласно этой ориентации.

Рассмотрим теперь замкнутую -звенную ломаную. Последнее звено замкнутой ломаной полностью определяется через положение предыдущих звеньев. Поэтому замкнутая -звенная ломанная с точностью до движения определяется следующими параметрами:

число которых равно Теперь задачу можно сформулировать таким образом: какими должны быть длины и углы чтобы соответствующая им ломаная была замкнута? Ответ на этот вопрос можно дать двумя способами: 1) можно найти выражения - через некоторые другие параметры, независимые или зависимые, но удовлетворяющие некоторым уравнениям; 2) можно найти сйстему из шести уравнений

на параметров: длины и углы

Ответ первым способом можно получить довольно просто. Запишем векторное уравнение замкнутости кривой

Пусть в введена декартова система координат х, у, z и пусть координаты единичных векторов будут Тогда векторное уравнение (14) можно записать как три скалярных уравнения для величин

Так как единичные векторы, то имеем уравнений

Углы между двумя соседними звеньями определяются через

Углы между бинормалями также определяются через переменные

Если заданы величины причем так, чтобы один какой-либо минор третьего порядка матрицы

был отличен от нуля, например минор первых трех столбцов, то можем выразить через и величины Так как величины удовлетворяют и уравнениям, то имеем независимых параметров. При этом положение векторов и не фиксировано. Можем их зафиксировать, положив Тогда число независимых параметров будет равно Итак, система уравнений

может рассматриваться как система необходимых и достаточных условий замкнутости кривой на параметры, через которые выражаются все длины и углы Однако больший интерес представляют условия, выраженные только через Обозначим Будем предполагать, что кривая у не плоская и три вектора составляют базис пространства Умножим векторное уравнение (14) замкнутости кривой скалярно на Получим систему трех уравнений:

Рассмотрим симметрическую -мерную матрицу Мы покажем ниже, что имеет место

Лемма. Все элементы матрицы А выражаются через углы

Поэтому уравнения (15) являются условиями на . К полной системе условий надо добавить еще три независимых уравнения. Запишем выражения косинусов углов и

По этим формулам элементы первой линии в матрице А, параллельной главной диагонали, и выражаются через а элементы второй линии и выражаются через

Рассмотрим четырехзвенную замкнутую ломаную. В системе (15) положим . В этом случае имеем

Из этих уравнений можем найти Так как входят в два уравнения, то получим следующие два уравнения

для углов

Третье уравнение для углов и получим как условие принадлежности четырех векторов одному трехмерному пространству — равенство нулю соответствующего им определителя Грамма

где звездочка обозначает симметричную часть. Для того чтобы получить это условие, векторное уравнение (14) умножим скалярно на четыре вектора и так как полученная при этом система четырех уравнений для имеет нетривиальное решение, то определитель этой системы равен нулю, т.е. имеет место (18). Укажем выражение этого определителя в виде многочлена. Для простоты записи обозначим элементы определителя через Тогда

Так как все величины выражены через углы то уравнение (18) является условием на и Итак, четырехзвенная ломаная будет замкнута тогда и только тогда, когда выполнена система уравнений (15), (17), (18). Эти уравнения независимы. Действительно при получим три уравнения:

Они независимы — входит только в первое, а во второе.

Рассмотрим пятизвенную ломаную. Запишем симметрическую матрицу А:

Элементы первой линии, параллельной главной диагонали, и выражаются через углы Элементы второй и третьей линий выражаются через

Таким образом дня пятизвенной ломаной между десятью элементами матрицы А и десятью углами и 0,- можно установить взаимно однозначное соответствие. Запишем три независимых уравнения для углов которые выражают условие принадлежности одному трехмерному пространству соответствующей четверки единичных векторов:

В эти уравнения надо подставить выражения записанные через Входящие в эти уравнения определители можно записать по формуле (19) в виде многочленов от коэффициентов Уравнения (20) независимы, так как входит только в первое

уравнение, входит только во второе только в третье уравнения. Итак, система алгебраических уравнений, определяющих условия замкнутости пятизвенной ломаной, состоит из уравнений (15) и (20).

Для шестизвенной ломаной через углы и по формулам (16) можно найти все элементы матрицы А, кроме стоящие на третьей линии. Чтобы определить эти элементы, используем равенство нулю трех определителей Грамма соответствующих четверок единичных векторов:

Относительно искомых величин это квадратные уравнения, которые при выполнении определенных неравенств будут иметь действительные решения. Таким образом, все элементы матрицы А можно выразить через и Заметим, что в выписанные определители не вошли элементы После того как найдены, запишем три уравнения для углов и

Опять замечаем, что эти уравнения независимы, так как входит только в первое уравнение, только во второе, только в третье.

Изложенный метод получения условий применим и для -звенной ломаной.

Установим сформулированную выше лемму. Мы уже отмечали, что элементы первой и второй линий матрицы А, а также элементы выражаются через Затем определяем элементы третьей линии через углы используя обращение в нуль соответствующих определителей Грамма четвертого порядка. Например, для определения используем уравнение

Затем аналогичным способом определяем элементы четвертой линии и т. д., при этом все время можно брать определители, не содержащие элементы чтобы в кавдый такой определитель входил только один неизвестный элемент и чтобы он стоял в правом верхнем углу.

После того как все элементы матрицы найдены, запишем три уравнения — условия принадлежности соответствующих четверок векторов

Эти уравнения независимы, так как входит только в первое уравнение, только во второе, только в третье уравнение. Итак, нами доказана

Теорема. Выполнение системы уравнений (15), (21), в которой все коэффициенты выражены через углы и является необходимым и достаточным условием замкнутости -звенной ломаной.