§ 19. КРИВАЯ, ЗАПОЛНЯЮЩАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

Для того чтобы продемонстрировать сложное поведение простой кривой, построим кривую, расположенную на торе, которая заполняет его всюду плотно. Для этого сначала запишем уравнение для поверхности тора. Она образуется как множество точек, заметаемое окружностью а, при перемещении ее центра по другой неподвижной окружности причем плоскости окружностей ортогональны. Радиус-вектор точки поверхности тора мы запишем как вектор-функцию от двух параметров и в. Для этого окружность поместим в плоскость х, у, а ее центр — в начало координат О. Пусть радиус окружности равен а окружности а равен Пусть координатные орты и точка на окружности . Пусть угол между отсчитывемый от в положительном направлении. Тогда можем записать

Единичный вектор направленный вдоль обозначим Окружность а расположена в плоскости , проходящей через начало координат и векторы и а ее центром является точка При вращении плоскости у точки окружности а опишут поверхность тора (рис. 30). Пусть точка окружности а. Тогда радиус-вектор можно записать как сумму Но вектор является линейной комбинацией векторов Пусть угол между и Тогда можем записать

Итак, радиус-вектор точки поверхности тора имеет вид

Пусть теперь является линейной функцией от

причем X — иррациональное число. Тогда при изменении от до точка опишет некоторую кривую При изменении от до точка кривой, обегая тор, опять встретится с окружностью а. В этой точке пересечения с окружностью а значение , а при изменении от до соответствующее значение будет изменяться от до Если X — рациональное число то кривая, совершив оборотов по оборотов по 0, замкнется. Если же иррациональное число, то в пересечении кривой с окружностью а получим бесконечное число точек. Покажем, что эти точки попадают в окрестность любой точки окружности, т. е. точки с расположены на окружности всюду плотно. Рассмотрим отображение окружности а на себя, ставящее в соответствие точке с углом точку с углом

Рис. 30

Отображение а на себя, полученное повторением к раз, обозначим через Отображение сохраняет длины дуг окружностей, т.е. длина дуги образа отображения равна длине дуги прообраза. Покажем, что для любой точки которой соответствует угол и любого найдется бесконечное число значений к таких,

что

Действительно, рассмотрим дугу содержащую длины меньше Так как дуги имеют равные длины, то в их бесконечной последовательности найдутся пересекающиеся. Пусть пересечение не пусто, Каждое отображение на является взаимно однозначным. Обратное отображение обозначим

Рассмотрим множество Заметим, что Пусть . С одной с другой - Поэтому пересечение не пусто. Положим Тогда Пусть для числа указано число удовлетворяющее приведенному неравенству. Тогда точки разобьют окружность на равные дуги, длины меньше Поэтому для любой фиксированной дуги окружности можно найти так что точки попадут внутрь этой душ. Следовательно, множество точек всюду плотно на окружности. Поэтому и кривая покрывает тор всюду плотно.

Спроектируем эту пространственную кривую на плоскость х, у Запишем параметрические уравнения проекции:

Если то проекция является регулярной кривой, покрывающей кольцо между концентрическими окружностями всюду плотно,