§ 11. ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Ранее мы уже рассматривали регулярное семейство кривых на плоскости, задаваемое уравнением Различные кривые из регулярного семейства между собой не пересекаются. Теперь же мы рассмотрим семейство кривых, которые между собой, вообще говоря, пересекаются. Рассмотрим, например, семейство окружностей постоянного радиуса и с центрами на оси х (рис. 12). Уравнение такой окружности будет

При фиксированном а мы имеем уравнение некоторой окружности, а при изменении а получим семейство окружностей.

Рис. 12

Каждые две достаточно близкие друг к другу окружности пересекаются между собой.

В общем случае будем считать, что уравнение

задает семейство кривых на плоскости. Это значит, что при каждом фиксированном а уравнение (2) задает некоторую выбранную кривую из семейства.

При рассмотрении семейства кривых на плоскости можно увидеть, что некоторые линии на плоскости являются особыми для семейства. Так, например, для семейства (1) такими особыми линиями являются прямые Эти линии в каждой своей точке касаются окружности из семейства, иначе говоря, огибают их.

Будем называть огибающей для семейства линий кривую на плоскости, которая в каждой своей точке касается проходящей через эту точку кривой из семейства.

Найдем уравнение огибающей Пусть точка огибающей — имеет координаты х, у. Будем считать, что через каждую точку проходит только одна кривая из семейства, т.е. каждой точке можно поставить в соответствие только одно значение параметра а. Тогда и координаты ее х, у можно рассматривать как функции параметра Эти уравнения дают параметрическое задание огибающей Так как точка лежит на кривой то

Дифференцируя по а, получаем

Огибающая и кривая имеют в точке общую касательную. Так как кривая задается уравнением (2), то нормаль к в точке имеет координаты - Касательный вектор к есть поэтому

Поэтому для точки огибающей должно выполняться и уравнение Итак, точки огибающей должны удовлетворять следующим двум уравнениям:

Исключая, если это возможно, из этих двух уравнений а, мы получаем некоторое уравнение задающее огибающую.