§ 13. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЙ ПО КРИВИЗНЕ И КРУЧЕНИЮ

Для пространственной кривой были определены две геометрические величины - кривизна к и кручение k. Первая величина, кривизна к, находится с помощью первых и вторых производных радиус-вектора кривой; для вычисления кручения к привлекаются также и третьи производные. С помощью производных более высокого порядка от радиус-вектора можно было бы строить другие геометрические величины, которые характеризовали бы поведение кривой. Но все они выражаются через кривизну, кручение и их производные по длине дуги. Для полного описания поведения кривой достаточно знать кривизну к и кручение к, заданные как функции длины дуги кривой. Имеет место

Теорема. Пусть заданные непрерывные функции некоторой переменной изменяющейся на отрезке причем Пусть в пространстве заданы точка и три взаимно ортогональных единичных вектора -Тогда в пространстве существует одна и только одна кривая класса регулярности такая, что точка кривой есть точка длина ее дуги, отсчитываемая от кривизна которой есть функция кручение - к и естественный трехгранник в точке есть

Рассмотрим систему уравнений для трех вектор-функций имеющую вид уравнений Френе:

Коэффициенты этой системы есть заранее данные функции от удовлетворяющие условиям теоремы о существовании решения линейной системы дифференциальных уравнений. Это решение существует на всем отрезке Пусть решение этой системы с начальными условиями Докажем, что и при любом векторы единичные и взаимно ортогональные. Для этого рассмотрим следующие функции:

При эти функции имеют значения 1, 1, 1, 0, 0, 0. Используя систему (1), найдем, что они удовлетворяют следующей системе из шести уравнений:

Полученная система является линейной однородной системой для введенных функций. Если положить то легко видеть, что этот набор функций является решением (2). Выполнены также и начальные условия. Система обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях имеет единственное решение. Поэтому другого решения, кроме указанного выше, система (2) не имеет, а это означает, что ортонормированный базис. Определим в пространстве кривую

где радиус-вектор точки непрерывные функции, то если непрерывная функция, то Так как единичный касательный вектор, то параметр является длиной дуги кривой. В начальной точке Поэтому кривая касается век тора Так как в силу формул Френе и системы (1) имеем

то - кривизна кривой и главная нормаль. Следовательно, вектор — бинормаль кривой, а в силу третьего уравнения системы кручение кривой. Теорема доказана.

Таким образом, кривая определяется своими кривизной и кручением к однозначно с точностью до ее движения в пространстве. Поэтому наряду с параметрическим заданием кривой используется и задание с помощью двух уравнений

которые носят название натуральных уравнений кривой. Это задание не зависит от выбора осей координат. Если заданы натуральные уравнения, то нахождение кривой состоит в интегрировании уравнений Френе. Заметим, что решение этой системы может быть сведено к решению одного уравнения Рикатти для комплексного вектора. Возьмем первые компоненты векторов и 0. Обозначим их соответственно Положим

С помощью уравнений Френе найдем производную по длине дуги:

Базис ортонормированный, поэтому Используя это соотношение, преобразуем сумму последних двух слагаемых:

Сложив правую и левую части этого тождества и разделив сумму пополам, найдем, что сумма последних двух слагаемых в (3) равна

Подставив это выражение в (3), получим, что удовлетворяет

уравнению Рикатти:

Если известно решение этого уравнения, то известны и компоненты

где число, сопряженное с

Задачи

(см. скан)