§ 12. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ

Пусть кривая у задана в параметрическом виде как вектор-функция от длины дуги Единичный касательный вектор обозначим главную нормаль — и бинормаль — 0. Три вектора и 0, вообще говоря, изменяются при изменении

параметра , и поэтому мы их рассматриваем как вектор-функции длины дуги . В каждой точке кривой эти векторы взаимно ортогональны и составляют базисный репер пространства. Говорят, что три вектора образуют естественный трехгранник. Запишем разложения производных этих векторов по длине дуги по векторам этого базиса:

Найдем коэффициенты разложений. По определению вектора главной нормали имеем

Следовательно, коэффициенты Так как при доказательстве теоремы о кручении мы установили формулу

то коэффициенты Найдем, наконец, производную от вектора Так как единичный вектор, то

Умножим разложение вектора скалярно на вектор

Далее умножим это разложение скалярно на :

Следовательно,

Полученные разложения векторов носят название формул Френе. Они играют фундаментальную роль в теории кривых. Запишем эти формулы:

Воспользуемся формулами Френе для выяснения геометрического вида кривой в окрестности некоторой ее точки которой кривизна и кручение отличны от нуля, т.е. и . Запишем разложение Тейлора для вектор-функции в окрестности точки

Согласно нашим обозначениям,

Далее с помощью формул Френе найдем

Используя эти выражения, запишем

Поведение кривой 7 в окрестности точки опишем с помощью проекций кривой на координатные плоскости, т.е. на плоскость векторов на плоскость векторов и на плоскость векторов Пусть начало координат расположено в точке ось х направлена по вектору ось у — по вектору и ось по вектору 0. Рассматривая каждую проекцию кривой, ограничимся главными бесконечно малыми. Для того чтобы получить проекцию на какую-либо координатную плоскость, возьмем две соответствующие этой плоскости координаты. Проекция на плоскость векторов описывается координатами которые являются коэффициентами при векторах соответственно в разложении (1) вектора Имеем

Следовательно, проекция кривой у на плоскость (рис. 13)

приближенно описывается параболой

Плоскости векторов соответствуют координаты Имеем

Следовательно, проекция кривой у на плоскость приближенно описывается кубической параболой

На рис. 14 изображена эта кривая при

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

Проекция кривой у на плоскость векторов дается координата

Из этих формул следует, что при достаточно малых координата

Исключая получаем

Следовательно, точка Для проекции кривой на плоскость главной нормали и бинормали является особой точкой - точкой возврата первого рода, причем в точке обе ветви проекции касаются (рис. 15).

По трем проекциям (впрочем, достаточно и двух) можно найти вид самой кривой в окрестности точки Пусть кручение кривой Так как проекция кривой на плоскость х, у приближенно есть парабола то кривая расположена на параболическом цилиндре с прямолинейной образующей, параллельной оси Как следует из вида проекции на плоскость ветвь кривой отвечающая значениям при достаточно малых расположена выше плоскости а ветвь для которой расположена ниже плоскости х, у (рис. 16).

Для некоторых пространственных регулярных кривых можно определить кривизну со знаком. Допустим, вдоль кривой

Рис. 16

существует непрерывное и дифференцируемое поле ортонормированных реперов такое, что касательный вектор, в тех точках, где главная нормаль определена, либо совпадает с главной нормалью, либо имеет противоположное ей направление. Записывая производные по длине дуги каждого орта получим аналог формул Френе

где некоторые коэффициенты в разложении производных Кривизной со знаком будем называть коэффициент который может отличаться от к только знаком. Этой кривизной бывает удобно пользоваться в тех случаях, когда в некоторых точках и главная нормаль при переходе через такие точки меняет свое направление на противоположное.