§ 10. «КРИВАЯ» ПЕАНО

В 1890 г. Пеано построил следующий замечательный пример непрерывного отображения отрезка, образом которого является квадрат. Разобьем отрезок на четыре равных отрезка , которые мы занумеруем последовательно, слева направо один за другим. Далее разобьем квадрат А на четыре равных квадрата обозначая их так, чтобы следующие друг за другом квадраты имели общую сторону. Произведенное разбиение отрезка и квадрата назовем первым. Каждому отрезку первого разбиения поставим в соответствие квадрат первого разбиения с тем же номером т.е. (рис. 11). Это соответствие обозначим т.е. Далее аналогично разобьем каждый отрезок на четыре равных отрезка , опять обозначая их последовательно один за другим слева направо. Каждый квадрат А разобьем на четыре квадрата, каждый из которых обозначим через причем обозначения выберем так, чтобы квадрат имел общую

Рис. 11

сторону с и квадрат имел общую сторону с Это Деление назовем вторым. Отрезкам второго деления поставим в соответствие квадраты т.е. положим Аналогично проведем и следующие деления. Отрезки деления обозначим через а соответствующие им квадраты — через Если два отрезка деления имеют общую точку, то и соответствующие им квадраты деления имеют общую сторону. Соответствие между отрезками и квадратами обладает следующим свойством: если отрезок с то

Поставим теперь в соответствие каждой точке отрезка некоторую точку квадрата А следующим образом. Каждая точка лежит в бесконечной последовательности вложенных друг в друга отрезков Соответствующие им квадраты тоже вложены друг в друга:

Так как длины сторон этих квадратов стремятся к нулю, то существует только одна точка принадлежащая всем этим квадратам. Эта точка ставится в соответствие точке Таким образом, мы определили отображение отрезка А на квадрат: Заметим, что из самого определения отображения вытекает, что если

Покажем, что каждая точка квадрата является образом хотя бы одной точки из отрезка Действительно, для каждой точки найдется хотя бы одна бесконечная последовательность вложенных друг в друга квадратов содержащих Этой последовательности соответствует бесконечная последовательность вложенных отрезков таких, что имеют единственную общую точку По определению отображения имеем Итак, образов отрезка А является весь квадрат

Покажем, что отображение является непрерывным в каждой точке Пусть задано число . С возрастанием числа длина стороны квадрата деления стремится к нулю. Поэтому найдется номер такой, что все квадраты деления, содержащие точку попадают в ее -окрестность. Возьмем отрезки деления, содержащие точку (их не более двух). Тогда всем точкам этих отрезков отображение ставит в соответствие точки из квадратов

деления, лежащие в -окрестности точки Это и означает, что отображение непрерывно.

В работе [57] был построен аналог кривой Пеано с помощью степенного ряда где комплексная переменная. Был указан степенной ряд сходящийся в круге непрерывный в замкнутом круге и такой, что множество значений функции содержит непустое открытое на плоскости множество.